2017西安交大ACM小学期数论 [水题]
水题
发布时间: 2017年6月25日 14:06 最后更新: 2017年7月3日 09:27 时间限制: 1000ms 内存限制: 128M
平均因数个数的统计对于估算数论题目复杂度具有非常重要的意义。小A同学听了今天的课后,于是想要自己写一个程序,求出1到n的平均因数个数。小A当然会啦!但是他想考考你。
多组输入数据(不超过1000组)。
每组一个正整数n(n≤109),如题目所述。
输出1到n中的平均因数个数,精确到9位小数。
4 20170703
2.000000000 16.974173533
平均因数的个数计数,很简单嘛
1~n的因数的个数总数为
而由公式我们可以将上面的式子变换成为
也就是
对这个东西进行求和也是比较简单的,注意不能暴力求和,因为时间复杂度太高了
我们考虑一个例子,当n为8的时候
[8/1]+[8/2]+[8/3]+[8/4]+[8/5]+[8/6]+[8/7]+[8/8]
=8+4+2+2+1+1+1+1
我们可以发现光1就出现了4次,2出现了2次,剩下的都出现了1次。这也就意味着,我们可以进行统计
我们统计除数为d的出现次数,那么d出现的次数可以表示为k = [n/d]-[n/(d+1)]
那么,它对答案的贡献就是d*k,下一次d就变成了d+1
当我们第一次发现d出现1次的时候,这代表着下面所有的d也都只会出现一次了,我们求出这时候的分母f
将f循环到1,并直接暴力算出结果。
代码:
#include <cstdio>
#include <map>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main(){LL n;while(scanf("%lld",&n) != -1){LL res = 0;LL d = 1;while(d <= n){//++cnt;LL nex = d+1;LL k = n/d - n/nex; if(k == 1){for(int i = n/d;i >= 1;i--){res += n / i;}break;}res += d*k;d = nex;}printf("%.9lf\n",double(res)/n);}return 0;
}
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