2017西安交大ACM小学期数论 [完全平方数]
完全平方数
发布时间: 2017年6月24日 17:01 最后更新: 2017年7月3日 09:27 时间限制: 1000ms 内存限制: 128M
给定正整数b,求最大的整数a,使a(a+b)是完全平方数。
多组测试数据(不超过10000组)。
每组数据一个正整数b,b≤109。
对每组数据输出一行一个整数a,表示答案。
1 3 5
0 1 4
这道题目,代码很短,重点在思维上面。
我们这样考虑,设a = kt^2,且k是素数
那么a(a+b) = kt^2(kt^2 + b)是完全平方数
相当于k(kt^2 + b)是完全平方数
由于完全平方数中包含素数k,则k的次数必为偶数次
那么k^2 | k(kt^2 + b)
也就是说k | b
设b = ke
那么等价转化到k^2(t^2+e)是完全平方数
相当于t^2 + e是完全平方数
考虑e的取值
e = 2t + 1的时候,t^2 + e是完全平方数
e = 4t + 4的时候,t^2 + e是完全平方数
要使得a = kt^2越大,直觉上认为t一定要越大
所以说,如果n为奇数的情况下t = (e-1)/2 = (n-1)/2; k = 1;这样最好
如果n为偶数的话,如果n/2为奇数的话,那么k = 2;t = (n/2-1)/2;这样最好
而如果n为偶数,n/2仍然为偶数的话,那么k = 1;e = (n-4)/4 这样最好
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX = 1e9;
LL n;
int main(){while(~scanf("%lld",&n)){LL ans;if(n % 2){//奇数LL t = (n-1)/2;ans = t*t;}else if(n%4 == 0){LL t = (n-4)/4;ans = t*t;}else{LL t = (n/2-1)/2;ans = t*t*2; }printf("%lld\n",ans); }return 0;
}
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