多元微积分_stokes定理证明

假设曲面S是关于（x，y）的函数，xy属于R

任何属于R的一点x，y，只能在S确定一点，

可以看做S是R在xy在空间里的映射，对于每一点x，y我们都可以求出其高度z

因此我们下面的证明不适用于R内的一点在S上映射大于一点的情况

**条件：**x，y函数是具有连续二阶导数的

z对于x取偏导然后对y取偏导等于先对y取偏导再对x取偏导：zxy=zyxz_{xy}=z_{yx}zxy=zyx

向量场函数F

我们来证明c的积分就等于s的双重积分

旋度就等于∇\nabla∇与F的叉积

算出旋度，需要知道ds⃗d\vec{s}ds

已知s是z关于x和y的函数，需要参数化s的表达式

在i方向上，标量（参数）是x

在j方向上，标量（参数）是y

在k方向上，标量（参数）是关于（x，y）的函数

定义域是(x,y)∈R(x,y)\in R(x,y)∈R

而dr⃗d\vec{r}dr是r对x，y偏导的叉积（叉积，行列式，面积）

这里要注意曲面s的方向

接下来计算叉积

先取x偏导，y作为常数

再取y偏导，x作为常数

有了curlF⃗curl \vec{F}curlF 和 ds⃗d\vec{s}ds我们来计算点积

下面我们按照常规的方法计算下c的积分F⃗.dr⃗\vec{F}.d\vec{r}F.dr

先通过计算c1来构建

定义c1是关于x，y的函数，定义域在a，b之间

xy平面内的向量场G

那么c1的积分=G⃗.dr⃗\vec{G}.d\vec{r}G.dr

带入dr

再来看c如何参数化

已知c是关于x，y的函数，相比于c1,多了z分量

而z就是关于x，y的函数

c的积分=F⃗.dr⃗\vec{F}.d\vec{r}F.dr

F的标量是P , Q, R

dr⃗d\vec{r}dr可以表示成dr⃗dt.dt\frac{d\vec{r}}{dt}.dtdtdr.dt

z是x，y的函数，那么由链式法则dzdt=∂z∂x∂x∂t+∂z∂y∂y∂z\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}dtdz=∂x∂z∂t∂x+∂y∂z∂z∂y

简化表达式

1.R分别乘以括号里的项
2.将相同导数项的系数合并

这是我们评估的c的积分，再与c1 的积分对比：

去掉dt参数化

求出了c1的线积分

依据格林定理（stokes的二维）等于R的面积分

取dy的标量对x的偏导，减去dx的标量对y的偏导

1.先来求∂Q∂x\frac{\partial Q}{\partial x}∂x∂Q，Q是关于（x,y,z）的函数，而z又是关于（x，y）的函数

由链式法则得到

再求∂Rzy∂x\frac{\partial R_zy}{\partial x}∂x∂Rzy

简化表达式

有“**条件：**x，y函数是具有连续二阶导数的

z对于x取偏导然后对y取偏导等于先对y取偏导再对x取偏导：zxy=zyxz_{xy}=z_{yx}zxy=zyx”

消去相同项

提取出在z_x,z_y

得到双重面积分的表达式

这与我们应用stokes计算的积分相等

关于

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