UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 Fubini定理证明积分不等式

例假设f(x),x∈[0,1]f(x),x \in [0,1]f(x),x∈[0,1]绝对连续，f(0)=0f(0)=0f(0)=0，证明
∫01∣f(x)∣3x3dx≤∫01∣f′(x)∣3∣ln⁡x∣dx\int_0^1 \frac{|f(x)|^3}{x^3}dx \le \int_0^1 |f'(x)|^3|\ln x|dx∫01x3∣f(x)∣3dx≤∫01∣f′(x)∣3∣lnx∣dx

证 f(x),x∈[0,1]f(x),x \in [0,1]f(x),x∈[0,1]绝对连续，f(0)=0f(0)=0f(0)=0说明
f(x)=∫0xf′(t)dtf(x)=\int_0^x f'(t)dtf(x)=∫0xf′(t)dt

把这个式子代入左式就可以构造出一个重积分了。
∫01∣f(x)∣3x3dx=∫01(1x∣∫0xf′(t)dt∣)3dx\int_0^1 \frac{|f(x)|^3}{x^3}dx = \int_0^1 \left( \frac{1}{x}\left|\int_0^x f'(t)dt\right| \right)^3dx∫01x3∣f(x)∣3dx=∫01(x1∣∣∣∣∫0xf′(t)dt∣∣∣∣)3dx

但这还不是一个重积分，因此我们需要再做一些操作，让它变成重积分。首先根据积分的绝对值不等式进行放松，然后做一个简单的换元收了1/x1/x1/x，最后对三次函数用Jensen不等式

∫01(1x∣∫0xf′(t)dt∣)3dx≤∫01(1x∫01∣f′(t)∣dt)3dx=∫01(∫0x∣f′(xt)∣dt)3dx≤∫01∫01∣f′(xt)∣3dtdx\int_0^1 \left( \frac{1}{x}\left|\int_0^x f'(t)dt\right| \right)^3dx \le \int_0^1 \left( \frac{1}{x}\int_0^1\left| f'(t)\right| dt \right)^3dx\\ =\int_0^1 \left(\int_0^x\left| f'(xt)\right| dt \right)^3dx \le \int_0^1 \int_0^1\left| f'(xt)\right|^3 dt dx∫01(x1∣∣∣∣∫0xf′(t)dt∣∣∣∣)3dx≤∫01(x1∫01∣f′(t)∣dt)3dx=∫01(∫0x∣f′(xt)∣dt)3dx≤∫01∫01∣f′(xt)∣3dtdx

现在我们把刚刚那个换元重反过来对ttt做一次，并用几次Fubini-Tonelli定理
∫01∫01∣f′(xt)∣3dtdx=∫01∫01∣f′(xt)∣3dxdt=∫011t∫0t∣f′(x)∣3dxdt=∫01∣f′(x)3∣∫x11tdtdx=∫01∣f′(x)∣3∣ln⁡x∣dx\int_0^1 \int_0^1\left| f'(xt)\right|^3 dt dx=\int_0^1 \int_0^1\left| f'(xt)\right|^3 dx dt \\ = \int_0^1 \frac{1}{t} \int_0^t |f'(x)|^3dx dt = \int_0^1 |f'(x)^3| \int_x^1 \frac{1}{t}dtdx \\ =\int_0^1 |f'(x)|^3|\ln x|dx ∫01∫01∣f′(xt)∣3dtdx=∫01∫01∣f′(xt)∣3dxdt=∫01t1∫0t∣f′(x)∣3dxdt=∫01∣f′(x)3∣∫x1t1dtdx=∫01∣f′(x)∣3∣lnx∣dx

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