多元微积分_stokes定理

如下图在不同的向量场内，如何评估闭合曲线s的积分

如图一曲线所在的向量场只有y分量，且向量场都是朝向y轴正方向

而我们知道点积F*dr，在同向时为正，垂直时为0，逆向时为负值，

我们可以通过曲线附近的向量场的方向大体判断积分

因此我们说三维向量场F内的闭合曲线s的积分，等于曲线围成的曲面内微小面积ds与旋度的积分

也等于通量的积分？

可以理解为stokes定理是格林定理向高维的推广

如下图在三维空间内的向量场F，曲线c所围城的面R

将z分量看做0

则通过计算F的旋度得到∫∫R(∂Q∂x−∂P∂y)ds\int\int_R(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})ds∫∫R(∂x∂Q−∂y∂P)ds

如何确定曲面的单位法向量方向：

想象我们沿着曲线行走，曲面总是在我们的左边，法向量是我们头顶所指的方向

而如果我们的曲线几番方向顺时针的

则法向量朝向z轴负方向

比如拧瓶盖，逆时针时向上走，打开瓶盖，顺时针是向下走，盖上瓶盖

实例：

如下图我们有

曲线c关于x，y发函数

y+z=2
x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1

向量场F=−y2i+xj+z2k-y^2i+xj+z^2k−y2i+xj+z2k

如何求曲线c的积分

∫c=F⃗∗dr⃗=∫∫s(curlF⃗n)dS\int_c=\vec{F}*d\vec{r}=\int\int_s(curl \vec{F} n)dS∫c=F∗dr=∫∫s(curlFn)dS

先确定x，y，z以及边界，由单位圆确定角度和半径的边界

将xyz带入

而我们前面通量那节已经学习过法向量乘以ds等于ds⃗d\vec{s}ds

下面进行计算

取r的偏导

r为变量 theta为常数

取theta偏导

取他们的叉积
（注意有点乘是取点积，没有点乘是取叉积，乘以标量是缩放）

得到rj+rkrj+rkrj+rk

带入面积的双重积分

插入nabla算子与梯度，旋度，散度的关系

以上

∇\nabla∇算子作为标量的时候，本身就代表空间的梯度

∇\nabla∇与向量的点积，代表向量的散度

∇\nabla∇与向量的叉积，代表向量的旋度

取∇\nabla∇算子与向量F的叉积得到旋度

带入积分表达式

求出F与n的点积

再求theta的反导数

带入2pi和0积分

因为cos2π=cos0=1cos2\pi=cos0=1cos2π=cos0=1

得到2πr2\pi r2πr，它的原函数是πr2\pi r^2πr2

带入1和0积分

得到π\piπ

下面来看不用stokes定理如何计算c的积分

一般积分计算是向量场F与dr的点积，

我们已经参数化了xyz，将其带入表达式，再进行积分运算即可

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