素数的有关性质（二）欧拉函数的一些定理证明与计算
文章目录
- 写在前面
- 内容回顾
- 模mmm剩余类环
- 定理
- 模ppp剩余类域
- 定义
- 欧拉函数的定义
- 欧拉函数的性质
- 命题1：欧拉函数等于与mmm互素整数个数
- 命题2：取值为素数ppp的欧拉函数等于p−1p-1p−1
- 证明
- 定理2：取值为素数方幂的欧拉函数
- 证 明
- ★\bigstar★定理3：取值为可分解成互素整数乘积的欧拉函数
- ★\bigstar★证 明
- 证明思路
- 会用到的一些结论
- 具体步骤
- 定理4：取值为任意大于1整数的欧拉函数
- 欧拉函数的计算
- 总结
写在前面
这回总结欧拉函数的一些有关定理，涉及到的以前的知识比较多，具体内容参见丘维声教授的《数学的思维方式与创新》一书。
内容回顾
介绍后面定理证明中可能会用到的一些定义与定理，在教材中均有相关的证明，在此不做详述。
模mmm剩余类环
定理
在模mmm剩余类环Zm\mathbb{Z}_mZm中，aˉ\bar{a}aˉ是可逆元当且仅当(a,m)=1(a,\,m)=1(a,m)=1。
Zm\mathbb{Z_m}Zm的每一个元素或者是可逆元，或者是零因子，二者必居其一，且只居其一。
模ppp剩余类域
定义
设FFF是一个有单位元e(e≠0)e(e\neq0)e(e=0)的交换环，若FFF中每一个非零元都是可逆元，那么称FFF是一个域。
设ppp是一个素数，则Zp\mathbb{Z_p}Zp是一个域，称其为模ppp剩余类域。
欧拉函数的定义
把Zm\mathbb{Z_m}Zm中所有可逆元组成的集合记作Zm∗\mathbb{Z}_m^*Zm∗，把Zm\mathbb{Z_m}Zm中可逆元的个数记作φ(m)\varphi(m)φ(m)，称φ(m)\varphi(m)φ(m)为欧拉函数，即φ(m)=∣Zm∗∣\varphi(m)=|\mathbb{Z}_m^*|φ(m)=∣Zm∗∣。
欧拉函数的性质
下面的这些命题与定理，都可以从具体的例子中归纳总结出来，本文仅介绍定理的证明部分。
命题1：欧拉函数等于与mmm互素整数个数
φ(m)\varphi(m)φ(m)等于集合Ωm={1,2,3,⋯,m}\varOmega_m=\{1,\,2,\,3,\,\cdots,\,m\}Ωm={1,2,3,⋯,m}中与mmm互素的整数的个数。
命题2：取值为素数ppp的欧拉函数等于p−1p-1p−1
若ppp是素数，则φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1φ(p)=p−1.
证明
若ppp是素数，则Zp\mathbb{Z_p}Zp是一个域，从而
Zp∗={1‾,2‾,⋯,p−1‾},\mathbb{Z}_p^*=\{\overline{1},\,\overline{2},\,\cdots,\,\overline{p-1}\}, Zp∗={1,2,⋯,p−1},
于是φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1φ(p)=p−1.
定理2：取值为素数方幂的欧拉函数
设ppp是素数，则对于任一正整数rrr，有
φ(pr)=pr−1(p−1).\varphi(p^r)=p^{r-1}(p-1). φ(pr)=pr−1(p−1).
证 明
由于互素的整数个数不易计算，下面从不互素的整数出发进行证明。
设集合Ωpr={1,2,⋯,pr}\varOmega_{p^r}=\{1,\,2,\,\cdots,\,p^r\}Ωpr={1,2,⋯,pr}，其中与prp^rpr不互素的整数的个数即所求。对∀a∈Ωpr\forall a\in\varOmega_{p^r}∀a∈Ωpr，利用互素整数的性质3推广，有(a,p)=1⟹(a,pr)=1(a,\,p)=1\Longrightarrow(a,\,p^r)=1(a,p)=1⟹(a,pr)=1。若(a,p)≠1(a,\,p)\neq1(a,p)=1，则p∣ap\,|\,ap∣a，从而(a,pr)≠1(a,\,p^r)\neq1(a,pr)=1，因此
(a,pr)≠1⟺(a,p)≠1⟺p∣a⟺a=p,2p,⋯,pr−1p,\begin{aligned} (a,\,p^r)\neq1\iff&(a,\,p)\neq1\iff p\,|\,a\\ \iff&a=p,\,2p,\,\cdots,\,p^{r-1}p, \end{aligned} (a,pr)=1⟺⟺(a,p)=1⟺p∣aa=p,2p,⋯,pr−1p,
从而Ωpr\varOmega_{p^r}Ωpr中与prp^rpr中不互素的整数的个数为pr−1p^{r-1}pr−1，于是得到
φ(pr)=pr−pr−1=pr−1(p−1).□\varphi(p^r)=p^r-p^{r-1}=p^{r-1}(p-1).\qquad\qquad\Box φ(pr)=pr−pr−1=pr−1(p−1).□
★\bigstar★定理3：取值为可分解成互素整数乘积的欧拉函数
设m=m1m2m=m_1m_2m=m1m2，且m1m_1m1与m2m_2m2是互素的大于111的整数，则
φ(m)=φ(m1)φ(m2).\varphi(m)=\varphi(m_1)\varphi(m_2). φ(m)=φ(m1)φ(m2).
★\bigstar★证 明
证明思路
这个定理的证明比较长，但思路很清晰，大致可总结为：
由于所要证明的等式是【Zm\mathbb{Z_m}Zm中可逆元的个数等于Zm1\mathbb{Z_{m_1}}Zm1中可逆元的个数乘以Zm2\mathbb{Z_{m_2}}Zm2中可逆元的个数】，自然想到联系两个环(本质上是一种集合)的一种运算是将两个环对应元素进行Cartes积（笛卡尔积），定义满足一定条件，且经笛卡尔积运算后的环为直和：Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2。
★\bigstar★由于Zm∗\mathbb{Z}_m^*Zm∗和(Zm1 ⊕Zm2)∗(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*(Zm1⊕Zm2)∗的结构并不清楚，于是想到从Zm\mathbb{Z_m}Zm和Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2入手进行分析。
从映射的角度考虑两个环的对应关系，再研究Zm∗\mathbb{Z}_m^*Zm∗上的映射，可以发现集合计数之间的联系。
会用到的一些结论
- 映射的一些定义及结论，可以参考《关于映射的一些理解与常用定理》.
- 互素的一些性质，可以参考《与素数有关的一些性质及证明（一）》.
具体步骤
首先考虑环Zm1\mathbb{Z}_{m_1^{}}Zm1和Zm2\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm2的笛卡尔积：
Zm1×Zm2={(a~1,a~~2)∣a~1∈Zm1,a~~2∈Zm2},\mathbb{Z}_{m_1^{}}\times\mathbb{Z}_{m_2^{}}=\left\{(\widetilde{a}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2)\,|\,\widetilde{a}_1\in\mathbb{Z}_{m_1^{}},\,\widetilde{\widetilde{a}}_2\in\mathbb{Z}_{m_2^{}}\right\}, Zm1×Zm2={(a1,a2)∣a1∈Zm1,a2∈Zm2},
规定：
加法运算：(a~1,a~~2)+(b~1,b~~2):=(a~1+b~1,a~~2+b~~2),乘法运算：(a~1,a~~2)⋅(b~1,b~~2):=(a~1b~1,a~~2b~~2),\begin{aligned} \text{加法运算：}&(\widetilde{a}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2)+(\widetilde{b}_1,\,\widetilde{\widetilde{b}}_2)\,:=\,(\widetilde{a}_1+\widetilde{b}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2+\widetilde{\widetilde{b}}_2),\\ \text{乘法运算：}&(\widetilde{a}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2)\ \cdot\ (\widetilde{b}_1,\,\widetilde{\widetilde{b}}_2)\,:=\,(\widetilde{a}_1\widetilde{b}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2\widetilde{\widetilde{b}}_2),\\ \end{aligned} 加法运算：乘法运算：(a1,a2)+(b1,b2):=(a1+b1,a2+b2),(a1,a2) ⋅ (b1,b2):=(a1b1,a2b2),
易验证Zm1×Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\times\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1×Zm2为一个交换环，且其零元为(0~,0~~)(\widetilde{0},\,\widetilde{\widetilde{0}})(0,0)，单位元为(1~,1~~)(\widetilde{1},\,\widetilde{\widetilde{1}})(1,1)。把这个环称为环Zm1\mathbb{Z}_{m_1^{}}Zm1和环Zm2\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm2的直和，记作Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2.而
(a~1,a~~2)是Zm1 ⊕Zm2的可逆元⟺∃(b~1,b~~2)∈Zm1 ⊕Zm2,s.t.(a~1,a~~2)⋅(b~1,b~~2)=(1~,1~~),即(a~1b~1,a~~2b~~2)=(1~,1~~),⟺∃b~1∈Zm1,b~~2∈Zm2,s.t.a~1b~1=1~,a~~2b~~2=1~~⟺a~1是Zm1的可逆元，且a~~2是Zm2的可逆元。\begin{aligned} &(\widetilde{a}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2)是\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}的可逆元\\ \iff&\,\,\exists\,(\widetilde{b}_1,\,\widetilde{\widetilde{b}}_2)\in\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}},\,\mathrm{s.t.}\, (\widetilde{a}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2)\cdot(\widetilde{b}_1,\,\widetilde{\widetilde{b}}_2)=(\widetilde{1},\,\widetilde{\widetilde{1}}),\\ &\,\text{即}(\widetilde{a}_1\widetilde{b}_1,\,\widetilde{\widetilde{a}}_2\widetilde{\widetilde{b}}_2)=(\widetilde{1},\,\widetilde{\widetilde{1}}),\\ \iff&\,\,\exists\,\widetilde{b}_1\in\mathbb{Z}_{m_1^{}},\,\widetilde{\widetilde{b}}_2\in\mathbb{Z}_{m_2^{}},\,\mathrm{s.t.}\ \widetilde{a}_1\widetilde{b}_1=\widetilde{1},\,\widetilde{\widetilde{a}}_2\widetilde{\widetilde{b}}_2=\widetilde{\widetilde{1}}\\ \iff&\,\widetilde{a}_1是\mathbb{Z}_{m_1^{}}的可逆元，且\widetilde{\widetilde{a}}_2是\mathbb{Z}_{m_2^{}}的可逆元。 \end{aligned} ⟺⟺⟺(a1,a2)是Zm1⊕Zm2的可逆元∃(b1,b2)∈Zm1⊕Zm2,s.t.(a1,a2)⋅(b1,b2)=(1,1),即(a1b1,a2b2)=(1,1),∃b1∈Zm1,b2∈Zm2,s.t. a1b1=1,a2b2=1a1是Zm1的可逆元，且a2是Zm2的可逆元。根据上面的推导，以及“分步计数原理”，可以得到：∣(Zm1 ⊕Zm2)∗∣=φ(m1)φ(m2)\bf\big|(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*\big|=\varphi(m_1)\varphi(m_2)∣∣(Zm1⊕Zm2)∗∣∣=φ(m1)φ(m2)，所以我们只需证明∣Zm∗∣=∣(Zm1 ⊕Zm2)∗∣\bf|\mathbb{Z}_m^*|=|(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*|∣Zm∗∣=∣(Zm1⊕Zm2)∗∣成立，即可证明这个定理。根据上面的分析，首先建立环Zm\mathbb{Z_m}Zm与环Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2之间的联系（对应法则）。
建立Zm\mathbb{Z_m}Zm的元素与Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2的元素之间的对应关系，令
σ:Zm→Zm1 ⊕Zm2,x‾↦(x~,x~~),\boxed{ \begin{aligned} \sigma:\quad&\mathbb{Z_m}\to\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}},\\ &\overline{x}\ \mapsto\ (\widetilde{x},\,\widetilde{\widetilde{x}}), \end{aligned}} σ:Zm→Zm1⊕Zm2,x ↦ (x,x),验证上述的对应法则是否构成映射，即对Zm\mathbb{Z}_mZm中的任一元素，是否能从Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2中找到唯一确定的一个元素与之对应，亦即验证
x‾=y‾⟺(x~,x~~)=(y~,y~~)\overline{x}=\overline{y}\iff(\widetilde{x},\,\widetilde{\widetilde{x}})=(\widetilde{y},\,\widetilde{\widetilde{y}}) x=y⟺(x,x)=(y,y)
是否成立。而
x‾=y‾⟺x≡y(modm)⟺m∣x−y,[‘‘⇐"须有(m1,m2)=1]⟺m=m1m2,m1∣m,m2∣m,∴m1∣x−y,m2∣x−y,⟺x≡y(modm1),x≡y(modm2),⟺x~=y~,x~~=y~~,⟺(x~,x~~)=(y~,y~~)\begin{aligned} \overline{x}=\overline{y}\iff&x\equiv y\,(\mathrm{mod}\ m)\iff m\,|\,x-y,\\ [``\Leftarrow"须有(m_1,m_2)=1]\iff&m=m_1m_2,\,m_1\,|\,m,\,m_2\,|\,m,\\ &\therefore m_1\,|\,x-y,\,m_2\,|\,x-y,\\ \iff&x\equiv y\,(\mathrm{mod}\ m_1),\\ &x\equiv y\,(\mathrm{mod}\ m_2),\\ \iff&\widetilde{x}=\widetilde{y},\,\widetilde{\widetilde{x}}=\widetilde{\widetilde{y}},\\ \iff&(\widetilde{x},\,\widetilde{\widetilde{x}})=(\widetilde{y},\,\widetilde{\widetilde{y}}) \end{aligned} x=y⟺[‘‘⇐"须有(m1,m2)=1]⟺⟺⟺⟺x≡y(mod m)⟺m∣x−y,m=m1m2,m1∣m,m2∣m,∴m1∣x−y,m2∣x−y,x≡y(mod m1),x≡y(mod m2),x=y,x=y,(x,x)=(y,y)
因此σ\sigmaσ是Zm\mathbb{Z}_mZm到Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2的一个映射，而由于像相同推出其对应的原像相同，所以σ\sigmaσ为单射。又由于∣Zm∣=m=m1m2=∣Zm1 ⊕Zm2∣|\mathbb{Z}_m|=m=m_1m_2=|\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}|∣Zm∣=m=m1m2=∣Zm1⊕Zm2∣，并根据结论“建立单射且元素个数相同的两有限集合，其对应法则也为满射”，可以得到映射σ\sigmaσ为满射，所以σ\sigmaσ为双射。
下面寻找环Zm\mathbb{Z_m}Zm与环Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2的可逆元之间的关系，只需证明存在Zm∗\mathbb{Z}_m^*Zm∗到(Zm1 ⊕Zm2)∗(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*(Zm1⊕Zm2)∗的一个双射，即可得到∣Zm∗∣=∣(Zm1 ⊕Zm2)∗∣|\mathbb{Z}_m^*|=|(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*|∣Zm∗∣=∣(Zm1⊕Zm2)∗∣。因为可逆元是由乘法运算定义的，所以首先要验证σ\sigmaσ保持乘法运算，即验证σ(x‾y‾)=σ(x‾)σ(y‾)\sigma(\overline{x}\,\overline{y})=\sigma(\overline{x})\sigma(\overline{y})σ(xy)=σ(x)σ(y)成立。
σ(x‾y‾)=σ(xy‾)=(xy~,xy~~)=(x~y~,x~~y~~)=(x~,x~~)(y~,y~~)=σ(x‾)σ(y‾)\begin{aligned} \sigma(\overline{x}\,\overline{y})&=\sigma(\overline{xy})=(\widetilde{xy},\,\widetilde{\widetilde{xy}})=(\widetilde{x}\widetilde{y},\,\widetilde{\widetilde{x}}\widetilde{\widetilde{y}})\\ &=(\widetilde{x},\,\widetilde{\widetilde{x}})(\widetilde{y},\,\widetilde{\widetilde{y}})=\sigma(\overline{x})\sigma(\overline{y}) \end{aligned} σ(xy)=σ(xy)=(xy,xy)=(xy,xy)=(x,x)(y,y)=σ(x)σ(y)
于是，
a‾是Zm的可逆元,⟺∃b‾∈Zm,s.t.a‾b‾=1‾,[‘‘⇐"①]⟺∃b‾∈Zm,s.t.σ(1‾)=σ(a‾b‾),∴(1~,1~~)=σ(a‾)σ(b‾),[‘‘⇐"②]⟺σ(a‾)是Zm1 ⊕Zm2的可逆元.\begin{aligned} &\overline{a}是\mathbb{Z_m}的可逆元,\\ \iff&\exists\,\overline{b}\in\mathbb{Z_m},\,\mathrm{s.t.}\ \overline{a}\overline{b}=\overline{1},\\ [``\Leftarrow"①]\iff&\exists\,\overline{b}\in\mathbb{Z_m},\,\mathrm{s.t.}\ \sigma(\overline{1})=\sigma(\overline{a}\overline{b}),\\ &\therefore(\widetilde{1},\,\widetilde{\widetilde{1}})=\sigma(\overline{a})\sigma(\overline{b}),\\ [``\Leftarrow"②]\iff&\sigma(\overline{a})是\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}的可逆元. \end{aligned} ⟺[‘‘⇐"①]⟺[‘‘⇐"②]⟺a是Zm的可逆元,∃b∈Zm,s.t. ab=1,∃b∈Zm,s.t. σ(1)=σ(ab),∴(1,1)=σ(a)σ(b),σ(a)是Zm1⊕Zm2的可逆元.- ①：须满足σ\sigmaσ为单射且保持乘法运算;
- ②：因为σ(a‾)\sigma(\overline{a})σ(a)是Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2的可逆元，而σ\sigmaσ是满射（陪域等于值域），所以σ(Zm)=Zm1 ⊕Zm2\sigma(\mathbb{Z_m})=\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}σ(Zm)=Zm1⊕Zm2，从而Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2中每个元素都可以表成σ(b‾)\sigma(\overline{b})σ(b)的形式，又b‾∈Zm\overline{b}\in\mathbb{Z_m}b∈Zm，所以σ(a‾)σ(b‾)=(1~,1~~)\sigma(\overline{a})\sigma(\overline{b})=(\widetilde{1},\,\widetilde{\widetilde{1}})σ(a)σ(b)=(1,1)。
由于a‾\overline{a}a是Zm\mathbb{Z_m}Zm的可逆元⟺σ(a‾)\,\iff\,\sigma(\overline{a})⟺σ(a)是Zm1 ⊕Zm2\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}}Zm1⊕Zm2的可逆元，将映射σ\sigmaσ限制在环（集合）Zm∗\mathbb{Z}_m^*Zm∗上，记为σ∣Zm∗\sigma|_{\mathbb{Z}_m^*}σ∣Zm∗，于是这个新的映射σ∣Zm∗\sigma|_{\mathbb{Z}_m^*}σ∣Zm∗是Zm∗\mathbb{Z}_m^*Zm∗到(Zm1 ⊕Zm2)∗(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*(Zm1⊕Zm2)∗的一个映射，且该映射是满射（陪域(Zm1 ⊕Zm2)∗(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*(Zm1⊕Zm2)∗中每一个元素σa‾\sigma\overline{a}σa都能找到一个a‾\overline{a}a与之对应，即值域等于陪域），而该映射显然为单射，所以σ∣Zm∗\sigma|\mathbb{Z}_m^*σ∣Zm∗是双射，于是证明了
∣Zm∗∣=∣(Zm1 ⊕Zm2)∗∣,|\mathbb{Z}_m^*|=|(\mathbb{Z}_{m_1^{}}\!\!\oplus\!\mathbb{Z}_{m_2^{}})^*|, ∣Zm∗∣=∣(Zm1⊕Zm2)∗∣,
即
φ(m)=φ(m1)φ(m2).□\varphi(m)=\varphi(m_1)\varphi(m_2).\qquad\Box φ(m)=φ(m1)φ(m2).□
定理4：取值为任意大于1整数的欧拉函数
设m=p1r1p2r2⋯psr3m=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_s^{r_3}m=p1r1p2r2⋯psr3，其中p1,p2,⋯,psp_1,\,p_2,\,\cdots,\,p_sp1,p2,⋯,ps是两两不等的整数，则
φ(m)=φ(p1r1)φ(p2r2)⋯φ(psrs)=p1r1−1(p1−1)p2r2−1(p2−1)⋯psrs−1(ps−1).\begin{aligned} \varphi(m)&=\varphi(p_1^{r_1})\varphi(p_2^{r_2})\cdots\varphi(p_s^{r_s})\\ &=p_1^{r_1-1}(p_1-1)p_2^{r_2-1}(p_2-1)\cdots p_s^{r_s-1}(p_s-1). \end{aligned} φ(m)=φ(p1r1)φ(p2r2)⋯φ(psrs)=p1r1−1(p1−1)p2r2−1(p2−1)⋯psrs−1(ps−1).
（这个定理是定理2与定理3的推论，利用算术基本定理及数学归纳法易证。根据此定理可以很方便地计算任意大于1整数的欧拉函数。）
欧拉函数的计算
例：计算φ(1800)\varphi(1800)φ(1800).
φ(1800)=φ(23×32×52)=φ(23)×φ(32)×φ(52)=23−1(2−1)×32−1(3−1)×52−1(5−1)=4×6×20=480.\begin{aligned} \varphi(1800)&=\varphi(2^3\times3^2\times5^2)=\varphi(2^3)\times\varphi(3^2)\times\varphi(5^2)\\ &=2^{3-1}(2-1)\times3^{2-1}(3-1)\times5^{2-1}(5-1)\\ &=4\times6\times20=480. \end{aligned} φ(1800)=φ(23×32×52)=φ(23)×φ(32)×φ(52)=23−1(2−1)×32−1(3−1)×52−1(5−1)=4×6×20=480.
总结
本文是在看了丘老师的课程之后的一个课程笔记与总结，不得不说丘老师的课程真的很棒，讲的很细致，而且关于一些数学思想的讲解很自然，很推荐大家学习。未来有时间我还会总结《数学的思维方式与创新》课程的一些笔记，希望大家喜欢。
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