[JZOJ]2109 清兵线题解

FIRST 题目大意
给你一些正整数，这些正整数为数轴上若干个点代表的数。现求：假设从原点出发，走m以内（包括m）的距离最多能够访问多少个点，输出m-每个点到达时已经走过的距离的累加和。

NEXT 前置结论

如图所示，首先我们假设数轴上有x,y两点，杀一个士兵的时间是tit_iti
∵ti≡0t_i \equiv 0ti≡0
∴不存在从远点跳过点yyy直接奔向点xxx存在最优解的可能性

AFTER THAT 解题思路
40分思路
排序+基于前置结论，进行dfs，普通可得40分，再优化一下可能能拿60分
100分思路
排序+动态规划
为了方便取，从小到大排序
既然不可能出现中间为断点的情况
那么我们想要最优解，我们已经死亡的士兵就一定是一个区间
状态易设：
fi,j,0f_{i,j,0}fi,j,0表示区间iii~jjj全部已经被杀死了,当前状态杀死的是iii（左边）最大值
fi,j,1f_{i,j,1}fi,j,1表示区间iii~jjj全部已经被杀死了,当前状态杀死的是jjj（右边）最大值

可得一个大概的转移式：
fi,j,0=max(fi+1,j,0+m−X，fi+1,j,1+m−Y)f_{i,j,0} = max(f_{i+1,j,0}+m-X，f_{i+1,j,1}+m-Y)fi,j,0=max(fi+1,j,0+m−X，fi+1,j,1+m−Y)
fi,j,1=max(fi,j−1,0+m−X，fi,j−1,1+m−Y)f_{i,j,1} = max(f_{i,j-1,0}+m-X，f_{i,j-1,1}+m-Y)fi,j,1=max(fi,j−1,0+m−X，fi,j−1,1+m−Y)
现在我们就是要求这个 X,YX,YX,Y分别是多少（即损耗时间）
我们可以尝试转换一个思路：

即假设你要杀kkk个人，已经杀了xxx个，那么你每走111步，另外的生命值都-1.即总可以获得的收益减少了(k−x)(k-x)(k−x)
走ttt步同理t(k−x)t(k-x)t(k−x)
带入原式得
X=(ai+1−ai)⋅(k−j+i)X=(a_{i+1}-a_i) \cdot (k-j+i)X=(ai+1−ai)⋅(k−j+i)
Y=(aj−ai)⋅(k−j+i)Y=(a_{j}-a_i) \cdot (k-j+i)Y=(aj−ai)⋅(k−j+i)
由于KKK没有，那我们直接枚举就完事了。

In The End

如果a数组里没有原点我们要补一个原点进去一起排序
要注意fff数组的特判和初始值
如果j−i+1>kj-i+1>kj−i+1>k请及时break