冲激函数(Impulse Function)的数学定义

δ(t)={∞t=00t≠0\delta(t) = \left\{\begin{matrix} \infty & t = 0 \\ 0 & t \neq 0 \end{matrix}\right. δ(t)={∞0t=0t=0

所谓冲激函数，它所表示的是在某一时刻有一个近乎无限大，而在其他时刻时什么也没有的特殊函数。而这样这样的函数它的积分又有如下性质：

∫δ(t)dt=1\int \delta (t) dt = 1∫δ(t)dt=1

在数学领域，有很多这样被发明出来的工具，尽管证明这样的函数它的积分为什么是1而不是无穷，很困难。但是它在信号采样领域里却十分好用，所以接下来我们来看看它在信号采样里是怎么使用的。

对连续信号的采样

首先怎么理解冲激函数，如果把 ttt 理解为时间，它的概念就是一个幅度无限，然而持续时间近乎于0（不完全是0）的脉冲信号，或者尖峰信号（这当然是理想情况，事实上现实中任何信号都有一定程度的持续时间，或者称为衰减时间，这个持续时间往往 >t0> t_0>t0 的）。

由于冲激函数的这个特点，使得它对于取样有如下的积分特性：

∫f(t)δ(t)dt=f(0)\int f(t) \delta(t) dt = f(0)∫f(t)δ(t)dt=f(0)

其中，f(t)f(t)f(t) 表示的是连续的信号，那么f(0)f(0)f(0) 自然就表示对于连续信号 f(t)f(t)f(t) 在 t=0t = 0t=0 处的幅值，或者说是函数 f(t)f(t)f(t) 在冲激位置的值，或者采样值。

听起来有点拗口？其实很好理解，因为 δ(t)\delta(t)δ(t) 只在 t=0t=0t=0 时有值，而在其他位置都为0，所以 f(t)δ(t)→f(0)f(t) \delta(t) \rightarrow f(0)f(t)δ(t)→f(0)，自然就可以得到：

∫f(t)δ(t)dt=∫f(0)δ(0)dt0=f(0)∫δ(0)dt0=f(0)\int f(t) \delta(t) dt = \int f(0) \delta(0) dt_0 = f(0) \int \delta(0) dt_0 = f(0) ∫f(t)δ(t)dt=∫f(0)δ(0)dt0=f(0)∫δ(0)dt0=f(0)

冲激函数对任意位置的扩展应用

由于冲激函数与任何连续函数的乘积，最终只留下连续函数在冲激位置的值 这种特性，所以研究信号学领域的研究员们自然就产生了把这种只在 t=0t=0t=0 时才有意义扩展应用到任意时刻的 t0t_0t0。所以有了如下的公式推导：

∫f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)\int f(t) \delta(t - t_0) dt = f(t_0) ∫f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)

这相当于给冲激函数装了一对轮子，让它可以从 t=0t = 0t=0 滑动到任意的 t=t0t = t_0t=t0 时刻。所以，如果 f(t)=cos(t)f(t) = cos(t)f(t)=cos(t)，那么根据上式试图需要得到 t=t−πt = t - \pit=t−π 处的值，就可以带入公式

∫f(t)δ(t−(t−π))dt=∫f(t)δ(π)dt=f(π)=cosπ=−1\int f(t) \delta(t -(t-\pi)) dt = \int f(t) \delta(\pi) dt = f(\pi) = cos \pi = -1 ∫f(t)δ(t−(t−π))dt=∫f(t)δ(π)dt=f(π)=cosπ=−1

有点画蛇添足是不是？但是如果有一个非常复杂的函数，这个适合的取样概念就非常有用了。

对离散情况也适用

离散时，稍微跟连续的表达方式有所不同。首先由于记录离散数据实质是一个一个的点，所以通常没有连续的时间概念，时间 ttt 在离散公式里就改成了表示点的 xxx。

其次，在0点时，它的值是1，而不是无穷。

δ(x)={1x=00x≠0\delta(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & x = 0 \\ 0 & x \neq 0 \end{matrix}\right. δ(x)={10x=0x=0

所以其求和公式就表示为：

∑δ(x)=1\sum \delta(x) = 1 ∑δ(x)=1

同样，离散的取样特性也表示为：

∑f(x)δ(x)=f(0)\sum f(x) \delta(x) = f(0) ∑f(x)δ(x)=f(0)

或者表示为更一般的形式

∑f(x)δ(x−x0)=f(x0)\sum f(x) \delta(x - x_0) = f(x_0) ∑f(x)δ(x−x0)=f(x0)

对信号的采样

现在我们有了采样的工具，是时候考虑一下对于连续信号的采样了。

现在我们在轴上按一定的间距 T 部署一系列的冲击函数，或者称为冲激串，依据冲激函数的特点于是就可以对上面这个信号进行采样。

S(t)=∑f(x)δ(t−nT)S(t) = \sum f(x) \delta (t - nT) S(t)=∑f(x)δ(t−nT)

通常我们在这里 S(t)S(t)S(t) 不表示为这组冲击函数的值的和，而是表示为冲激函数采样后数据的集合。

冲激函数的高级扩展

从冲激函数的概念，就可能很容易扩展出高级应用概念，比如说卷积、傅里叶分析等。而关于这些扩展内容，你可以参考我写的相关内容：

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浅谈傅里叶——5. 短时傅里叶的缺点与卷积的基本概念
浅谈傅里叶——6. 采样、频率与一个简易的DFT函数
浅谈傅里叶——7. 带有相位信息的一维DFT实现方法
浅谈傅里叶——8. 一维iDFT的实现

卷积

卷积计算——1. 关于卷积的基本概念
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