摘要：对AD转换过程中的数学原理加以理解，讲述了原始模拟信号的抽样信号以及抽样序列，将时间 $t$ 和 $n$ 统一起来，并对采样的物理过程加以解释。

声明：本文章参考了《Introduction to Signal Processing》一书，作者：Sophocles J.Orfanidis ，特此声明。
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理解AD转换时的信号采样与保持

AD转换器的内部原理如图1所示。包括两个部分：采样保持器（sampler）和量化器（quantizer）。模拟信号 $x_{a}(t)$ 经过采样保持器后得到采样信号 $x(nT)$ ，再经过量化器（A->D转换）得到 $x_{Q}(nT)$ ，每个采样点是用 $B$ 位来表示数字信号。

采样保持器内部电路见图1，均匀采样时，开关每隔时间 $T$ 闭合一次，理想状态下，闭合时间无限短，连续的闭合过程可以等效为一个冲激函数序列 $\delta _{T}(t)$ 。开关闭合后，信号（可以理解为理想的电压源）快速给电容充电或放电（当输入的电压值比上一个采样值小的时候，就是放电），在电容上就形成了与输入信号值一致的电压信号，这个值会保持至下一次采样时刻，在模拟转数字的过程中这个电压值需要保持不变，以保证AD能转换为正确的结果（因为AD转换需要时间）。当然在理想的状态下，电容充放电的时间都是无限短的，输入信号源可以认为内阻为0。

如果从连续时间 $t$ 角度说，采样过程可以建模为输入信号与 $\delta _{T}(t)$ 的乘积，经过采样以后在A点得到抽样信号如下，注意其为 $t$ 的函数：

$\hat{x}_{a}(t)=x_{a}(t)\delta _{T}(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x_{a}(t)\delta (t-nT)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x_{a}(nT)\delta (t-nT)$

其本质上是一系列的冲激函数，其在每个采样时刻的幅度都为无限值，但其总的能量是有限的，就等于此时的输入信号的幅度。

如果从离散时间角度来说，A点得到的是一个离散时间的抽样序列，表达式如下，注意其为 $n$ 的函数：

$x(n)=x_{a}(nT)=x_{a}(t)|_{t=nT}$

两者之间可以有如下联系：

${\color{Black} L(\hat{x}_{a}(t))=\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty }^{\infty }x_{a}(nT)\delta (t-nT) e^{-st}dt=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x_{a}(nT)e^{-snT} =\sum_{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}=Z(x(n))}$

上式中， $z=e^{sT}$ , $x(n)=x_{a}(nT)$

即当 $z=e^{sT}$ 时，抽样序列 $x(n)$ 的z变换，等于其理想抽样信号 $\hat{x}_{a}(t)$ 的拉普拉斯变换，这句话中的“其”，说明两者是同宗的，都源于 ${x}_{a}(t)$

最后，再重点说一下，如果从物理过程理解采样：如图2所示，这里可以将信号 $\hat{x}_{a}(t)$ 想象为电流信号 $i(t)$ ，在采样时间到后，开关闭合，输入模拟信号等效的理想电压源在无限短的时间，以无限大的电流，给电容充电或放电，强迫电容达到与输入信号相同的电压值，描述这个过程最恰当的数学模型就是冲激函数序列。可以将 $x(n)=x_{a}(nT)$ 想象为A点的电压值，这个电压值一瞬间完成，就是 $nT$ 时刻的函数值。这样就好理解了，当然这一切，都是在理想状态下完成的，非理想状态思路也是一样的。

图2 理解采样的物理过程

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