矩阵理论——正交变换
矩阵理论——正交变换
长度不变我们称为保长。保长,保距,保角的变换我们称为正交变换,理论力学中刚体移动就是一个正交变换。
而长度、角度都是由内积导出的,则只用保证变换的内积不变,则能保证该变换是一个正交变换。
(T(x),T(y))=(x,y)(T(x),T(y)) = (x,y)(T(x),T(y))=(x,y)
正交变换有这么几条性质:
1)正交变换前后长度不变∣T(x)∣=∣x∣|T(x) |= |x|∣T(x)∣=∣x∣
2)若变换前向量正交,变换后向量也正交。(变换前若是V的一组基,变换后也是V的一组基)
3)正交变换(在标准正交基下)对应的矩阵为正交矩阵
正交矩阵的性质:
(1)正交矩阵所有特征值为±1,酉矩阵所有特征值的模值都为1
(2)正交矩阵的行列式为±1,酉矩阵的行列式模值为1
(3)A的逆矩阵,共轭转置矩阵仍为正交(酉)矩阵
(4)正交(酉)矩阵乘积仍为酉矩阵
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