现代优化算法之遗传算法

之前两篇转载的文章：

遗传算法入门到掌握（一）、遗传算法入门到掌握（二）

对遗传算法的数学推导讲解得非常详细，同时我也附带了一份遗传算法的C语言实现，这篇文章将要运用遗传算法对一个多项式求最小值，要求在(-8,8)间寻找使表达式达到最小的x，误差为0.001。

但是那篇文章仅仅讲解了关于本例的遗传算法的规则，并没有详细的算法过程。

这篇文章简介一下遗传算法的具体算法过程，并且用MATLAB实现遗传算法的代码，该算法将解决模拟退火一文中的例题。

遗传算法简介

遗传算法（Genetic Algorithms，简称 GA）是一种基于自然选择原理和自然遗传机制的搜索（寻优）算法，它是模拟自然界中的生命进化机制，在人工系统中实现特定目标的优化。遗传算法的实质是通过群体搜索技术，根据适者生存的原则逐代进化，最终得到最优解或准最优解。它必须做以下操作：初始群体的产生、求每一个体的适应度、根据适者生存的原则选择优良个体、被选出的优良个体两两配对，通过随机交叉其染色体的基因并随机变异某些染色体的基因后生成下一代群体，按此方法使群体逐代进化，直到满足进化终止条件。其实现方法如下：

（1）根据具体问题确定可行解域，确定一种编码方法，能用数值串或字符串表示可行解域的每一解。
（2）对每一解应有一个度量好坏的依据，它用一函数表示，叫做适应度函数，适应度函数应为非负函数。
（3）确定进化参数群体规模MM 、交叉概率pcp_c 、变异概率pcp_c 、进化终止条件。

为便于计算，一般来说，每一代群体的个体数目都取相等。群体规模越大、越容易找到最优解，但由于受到计算机的运算能力的限制，群体规模越大，计算所需要的时间也相应的增加。进化终止条件指的是当进化到什么时候结束，它可以设定到某一代进化结束，也可能根据找出近似最优是否满足精度要求来确定。表1 列出了生物遗传概念在遗传算法中的对应关系。

表1 生物遗传概念在遗传算法中的对应关

生物遗传概念	遗传算法中的作用
适者生存	算法停止时，最优目标值的解有最大的可能被留住
个体	解
染色体	解的编码
基因	解中每一分量的特征
适应性	适应度函数值
种群	根据适应度函数值选取的一组解
交配	通过交配原则产生一组新解的过程
变异	编码的某一分量发生变化的过程

模型及算法

我们用遗传算法研究上次提到的问题。

种群大小：M=50M = 50
最大代数：G=1000G = 1000
交叉率： pc=1p_c=1 ，交叉概率为1 能保证种群的充分进化。
变异率： pm=0.1p_m=0.1 ，一般而言，变异发生的可能性较小。

（1）编码策略
采用十进制编码，用随机数列ω1,ω2,…,ω102ω_1,ω_2,\dots ,ω_{102} 作为染色体，其中 0<ωi<1（i=2,3,…,101）0 ， ω1=0，ω102=1 ω_1 = 0， ω_{102} =1 ；每一个随机序列都和种群中的一个个体相对应，例如一个99 城市问题的一个染色体为

[0.23，0.82，0.45，0.74，0.87，0.11，0.56，0.69，0.78]

其中编码位置ii 代表城市ii ，位置ii 的随机数表示城市ii 在巡回中的顺序，我们将这些随机数按升序排列得到如下巡回：

6→1→3→7→8→4→9→2→5

6\rightarrow1\rightarrow3\rightarrow7\rightarrow8\rightarrow4\rightarrow9\rightarrow2\rightarrow5

（2）初始种群本文中我们先利用经典的近似算法—改良圈算法求得一个较好的初始种群。即对于初始圈C=π1…πu−1πuπu+1…πv−1πvπv+1…π102，2≤u<v≤101，2≤πu<πv≤101C=π_1…π_{u−1}π_uπ_{u+1}…π_{v-1}π_vπ_{v+1}…π_{102}， 2 ≤ u ，交换u与v之间的顺序，此时的新路径为：

π1…πu−1πvπv+1…πu+1πuπv+1…π102

π_1…π_{u−1}π_vπ_{v+1}…π_{u+1}π_uπ_{v+1}…π_{102}

记Δf=(dπu−1πv+dπuπv+1)−(dπu−1πu+dπvπv+1)Δf=(d_{π_{u−1}π_v}+d_{π_uπ_{v+1}})−(d_{π_{u−1}π_u}+d_{π_vπ_{v+1}})，若Δf<0\Delta f，则以新的路经修改旧的路
经，直到不能修改为止。

（3）目标函数
目标函数为侦察所有目标的路径长度，适应度函数就取为目标函数。我们要求

minf(π1,π2,…,π102)=∑i=1101dπiπi+1

\min f(\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{102})=\sum_{i=1}^{101}d_{\pi_i\pi_{i+1}}

（4）交叉操作
我们的交叉操作采用单点交叉。设计如下，对于选定的两个父代个体f1=ω1ω2…ω102，f2=ω1ω2…ω102f_1=ω_1ω_2\dots ω_{102}，f_2=ω_1ω_2\dots ω_{102}，我们随机地选取第tt个基因处为交叉点，则经过交叉运算后得到的子代编码为s1s_1 和s1s_1， s1s_1 的基因由f1f_1的前tt个基因和f2f_2 的后102−t102 − t个基因构成， s2s_2的基因由f2f_2 的前tt个基因和f1f_1的后102−t102 − t个基因构成，例如：

f1=[0,0.14,0.25,0.27, ∥ 0.29,0.54,…,0.19,1]f2=[0,0.23,0.44,0.56, ∥ 0.74,0.21,…,0.24,1]

f_1=[0,0.14,0.25,0.27,\ \ \|\ \ 0.29,0.54,\dots,0.19,1]\\ f_2=[0,0.23,0.44,0.56,\ \ \|\ \ 0.74,0.21,\dots,0.24,1]

设交叉点为第四个基因处，则

s1=[0,0.14,0.25,0.27, ∥ 0.74,0.21,…,0.24,1]s2=[0,0.23,0.44,0.56, ∥ 0.29,0.54,…,0.19,1]

s_1=[0,0.14,0.25,0.27,\ \ \|\ \ 0.74,0.21,\dots,0.24,1]\\ s_2=[0,0.23,0.44,0.56,\ \ \|\ \ 0.29,0.54,\dots,0.19,1]

交叉操作的方式有很多种选择，我们应该尽可能选取好的交叉方式，保证子代能继承父代的优良特性。同时这里的交叉操作也蕴含了变异操作。

（5）变异操作
变异也是实现群体多样性的一种手段，同时也是全局寻优的保证。具体设计如下，按照给定的变异率，对选定变异的个体，随机地取三个整数，满足1<u<v<w<1021 ，
把u,vu,v之间（包括uu和vv）的基因段插到ww后面。

（6）选择
采用确定性的选择策略，也就是说选择目标函数值最小的MM 个个体进化到下一代，这样可以保证父代的优良特性被保存下来。

MATLAB 程序

clc,clear
load sj.txt %加载敌方100 个目标的数据
x=sj(:,1:2:8);x=x(:);
y=sj(:,2:2:8);y=y(:);
sj=[x y];
d1=[70,40];
sj0=[d1;sj;d1];
%距离矩阵d
sj=sj0*pi/180;
d=zeros(102);
for i=1:101
for j=i+1:102
temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
d(i,j)=6370*acos(temp);
end
end
d=d+d';L=102;w=50;dai=100;
%通过改良圈算法选取优良父代A
for k=1:w
c=randperm(100);
c1=[1,c+1,102];
flag=1;
while flag>0
flag=0;
for m=1:L-3
for n=m+2:L-1
if d(c1(m),c1(n))+d(c1(m+1),c1(n+1))<d(c1(m),c1(m+1))+d(c1(n),c1(n+1))
flag=1;
c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);
end
end
end
end
J(k,c1)=1:102;
end
J=J/102;
J(:,1)=0;J(:,102)=1;
rand('state',sum(clock));
%遗传算法实现过程
A=J;
for k=1:dai %产生0～1 间随机数列进行编码
B=A;
c=randperm(w);
%交配产生子代B
for i=1:2:w
F=2+floor(100*rand(1));
temp=B(c(i),F:102);
B(c(i),F:102)=B(c(i+1),F:102);
B(c(i+1),F:102)=temp;
end
-280-
%变异产生子代C
by=find(rand(1,w)<0.1);
if length(by)==0
by=floor(w*rand(1))+1;
end
C=A(by,:);
L3=length(by);
for j=1:L3
bw=2+floor(100*rand(1,3));
bw=sort(bw);
C(j,:)=C(j,[1:bw(1)-1,bw(2)+1:bw(3),bw(1):bw(2),bw(3)+1:102]);
end
G=[A;B;C];
TL=size(G,1);
%在父代和子代中选择优良品种作为新的父代
[dd,IX]=sort(G,2);temp(1:TL)=0;
for j=1:TL
for i=1:101
temp(j)=temp(j)+d(IX(j,i),IX(j,i+1));
end
end
[DZ,IZ]=sort(temp);
A=G(IZ(1:w),:);
end
path=IX(IZ(1),:)
long=DZ(1)
toc
xx=sj0(path,1);yy=sj0(path,2);
plot(xx,yy,'-o')

计算结果为 40 小时左右。其中的一个巡航路径如图2 所示。