《矩阵理论与方法》lambda矩阵及Jordan标准形

最近在学习《矩阵理论与方法》这一本书，以此笔记作为学习过程的记录。

一.λ\lambdaλ-矩阵

定义1：设λ\lambdaλ是数域FFF上的一个未定元，f(λ)f(\lambda)f(λ)，g(λ)g(\lambda)g(λ)，.........，是FFF上λ\lambdaλ的多项式。用未定元λ\lambdaλ的多项式为元素组成的矩阵
[f11(λ)f12(λ)⋯f1n(λ)f21(λ)f22(λ)⋯f2n(λ)⋮⋮⋱⋮fm1(λ)fm2(λ)⋯fmn(λ)]\begin{bmatrix} {f_{11}(\lambda)}&{f_{12}(\lambda)}&{\cdots}&{f_{1n}(\lambda)}\\ {f_{21}(\lambda)}&{f_{22}(\lambda)}&{\cdots}&{f_{2n}(\lambda)}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {f_{m1}(\lambda)}&{f_{m2}(\lambda)}&{\cdots}&{f_{mn}(\lambda)}\\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡f11(λ)f21(λ)⋮fm1(λ)f12(λ)f22(λ)⋮fm2(λ)⋯⋯⋱⋯f1n(λ)f2n(λ)⋮fmn(λ)⎦⎥⎥⎥⎤
称为λ\lambdaλ-矩阵，记作(fij(λ))(f_{ij}(\lambda))(fij(λ))。可用A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)，B(λ)\mathtt {B}(\lambda)B(λ)，C(λ)\mathtt {C}(\lambda)C(λ)等来表示λ\lambdaλ-矩阵。

例如，方阵A的特征矩阵 λI−A\lambda\mathtt {I}-\mathtt {A}λI−A 就是一个λ\lambdaλ-矩阵，数字矩阵当然也可看做λ\lambdaλ-矩阵的特例。

定义2：λ\lambdaλ-矩阵A(λ)(\lambda)(λ)中不为零的子式的最高阶数rrr称为A(λ)(\lambda)(λ)的秩，记作rankA(λ)=rrank\mathtt {A}(\lambda)=rrankA(λ)=r，简写成r[A(λ)]=rr[\mathtt {A}(\lambda)]=rr[A(λ)]=r。规定零矩阵的秩为零。

例如，rank=[λ10λ]=2，rank=[λλ−100]=1rank=\begin{bmatrix} \lambda&1\\ 0&\lambda\\ \end{bmatrix}=2，rank=\begin{bmatrix} \lambda&\lambda-1\\ 0&0\\ \end{bmatrix}=1rank=[λ01λ]=2，rank=[λ0λ−10]=1

定义3：对于nnn阶λ\lambdaλ-矩阵A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)，若有nnn阶λ\lambdaλ-矩阵B(λ)\mathtt {B}(\lambda)B(λ)，使得
A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=In\mathtt {A}(\lambda)\mathtt {B}(\lambda)=\mathtt {B}(\lambda)\mathtt {A}(\lambda)=\mathtt {I}_{n}A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=In
则称A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)为可逆的λ\lambdaλ-矩阵，并称B(λ)\mathtt {B}(\lambda)B(λ)为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的逆矩阵。

定理1：nnn阶λ\lambdaλ-矩阵A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)可逆的充分必要条件是∣A(λ)∣=d|\mathtt {A}(\lambda)|=d∣A(λ)∣=d
其中，ddd是一个非零常数。

定义4：若λ\lambdaλ-矩阵A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)经过有限次数的初等变换，可以化成B(λ)\mathtt {B}(\lambda)B(λ)，则称B(λ)\mathtt {B}(\lambda)B(λ)与A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)等价，记作A(λ)≌B(λ)\mathtt {A}(\lambda)≌\mathtt {B}(\lambda)A(λ)≌B(λ)。

λ\lambdaλ-矩阵的等价关系与数字矩阵一样，也满足自反性、对称性和传递性。

若两个λ\lambdaλ-矩阵等价，则它们的秩必定相等。

二.λ\lambdaλ-矩阵的标准型

定义5：对角形λ\lambdaλ-矩阵
D(λ)=[d1(λ)d2(λ)⋱d3(λ)0⋱0]\mathtt {D}(\lambda)=\begin{bmatrix} {d_{1}(\lambda)}&{}&{}&{}\\ {}&{d_{2}(\lambda)}&{}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{}&{d_{3}(\lambda)}\\ {}&{}&{}&{}&{0}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{\ddots}\\ {}&{}&{}&{}{}&{}&{}&{0}\\ \end{bmatrix}D(λ)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡d1(λ)d2(λ)⋱d3(λ)0⋱0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
若满足：
（1）di(λ)d_{i}(\lambda)di(λ)(i=1,2,...,r)(i=1,2,...,r)(i=1,2,...,r)是首项系数为111的λ\lambdaλ-多项式；
（2）di(λ)∣di+1(λ)d_{i}(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)di(λ)∣di+1(λ)(i=1,2,...,r)(i=1,2,...,r)(i=1,2,...,r)，表示di+1(λ)d_{i+1}(\lambda)di+1(λ)能被di(λ)d_{i}(\lambda)di(λ)整除；
则称D(λ)\mathtt {D}(\lambda)D(λ)为λ\lambdaλ-矩阵的法式或标准式，也可称D(λ)\mathtt {D}(\lambda)D(λ)为法λ\lambdaλ-矩阵。

定理2：任一λ\lambdaλ-方阵A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)都可经过若干次初等变换化为标准型，即任何一个λ\lambdaλ-方阵都可与一个法λ\lambdaλ-方阵等价。

三.不变因子

定义6：设λ\lambdaλ-矩阵A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的秩为rrr，对正整数kkk，1≤k≤r1\leq k \leq r1≤k≤r，A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)中必有非零的kkk阶子式，称A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)中所有kkk阶子式的首项系数为111的最大公因式为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的kkk阶行列式因子，记作Dk(λ)D_{k}(\lambda)Dk(λ)。

由定义可知，一个nnn阶λ\lambdaλ-方阵A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的nnn阶行列式因子Dk(λ)=∣A(λ)∣D_{k}(\lambda)=|\mathtt {A}(\lambda)|Dk(λ)=∣A(λ)∣，并且Dk−1(λ)D_{k-1}(\lambda)Dk−1(λ)能整除任一个k−1k-1k−1阶子式，而由行列式的展开可知一个kkk阶行列式可以表示成kkk个k−1k-1k−1阶子式的代数和，从而Dk−1(λ)D_{k-1}(\lambda)Dk−1(λ)能整除任一个kkk阶子式，因此Dk−1(λ)D_{k-1}(\lambda)Dk−1(λ)可以整除Dk(λ)D_{k}(\lambda)Dk(λ)，即Dk−1(λ)∣Dk(λ)D_{k-1}(\lambda)|D_{k}(\lambda)Dk−1(λ)∣Dk(λ)，(k=1,2,..,n−1)(k=1,2,..,n-1)(k=1,2,..,n−1)。

若A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的秩为rrr，由定义可知它的rrr个行列式因子D1(λ)D_{1}(\lambda)D1(λ)，D2(λ)D_{2}(\lambda)D2(λ)，.........，Dr(λ)D_{r}(\lambda)Dr(λ)不为零，而Dr+1(λ)=0D_{r+1}(\lambda)=0Dr+1(λ)=0，.........，Dn(λ)=0D_{n}(\lambda)=0Dn(λ)=0，于是我们可以得到rrr个首项系数为111的多项式
d1(λ)=D1(λ)d2(λ)=D2(λ)D1(λ)d3(λ)=D3(λ)D2(λ)...............dr(λ)=Dr(λ)Dr−1(λ)d_{1}(\lambda)=D_{1}(\lambda)\\ d_{2}(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)}\\ d_{3}(\lambda)=\frac{D_{3}(\lambda)}{D_{2}(\lambda)}\\ ...............\\ d_{r}(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)}d1(λ)=D1(λ)d2(λ)=D1(λ)D2(λ)d3(λ)=D2(λ)D3(λ)...............dr(λ)=Dr−1(λ)Dr(λ)

定义7：在上式中的rrr个多项式d1(λ)d_{1}(\lambda)d1(λ)，d2(λ)d_{2}(\lambda)d2(λ)，.........，dr(λ)d_{r}(\lambda)dr(λ)称为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的不变因子，其中rrr为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的秩。

定理3：若
D(λ)=[d1(λ)d2(λ)⋱d3(λ)0⋱0]\mathtt {D}(\lambda)=\begin{bmatrix} {d_{1}(\lambda)}&{}&{}&{}\\ {}&{d_{2}(\lambda)}&{}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{}&{d_{3}(\lambda)}\\ {}&{}&{}&{}&{0}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{\ddots}\\ {}&{}&{}&{}{}&{}&{}&{0}\\ \end{bmatrix}D(λ)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡d1(λ)d2(λ)⋱d3(λ)0⋱0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的标准形，则d1(λ)d_{1}(\lambda)d1(λ)，d2(λ)d_{2}(\lambda)d2(λ)，.........，dr(λ)d_{r}(\lambda)dr(λ)恰好为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的rrr个不变因子。

四.初等因子

根据代数基本定理可知，任何一个复系数多项式在复数域内都可以分解为一次因式的乘积，因此，在复数域上将λ\lambdaλ-矩阵A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的各个不变因子再分解为：
d1(λ)=(λ−λ1)k11(λ−λ2)k12⋅⋅⋅(λ−λs)k1sd2(λ)=(λ−λ1)k21(λ−λ2)k22⋅⋅⋅(λ−λs)k2s....................dr(λ)=(λ−λ1)kr1(λ−λ2)kr2⋅⋅⋅(λ−λs)krsd_{1}(\lambda)=(\lambda-\lambda_{1})^{k_{11}}(\lambda-\lambda_{2})^{k_{12}}\cdot \cdot \cdot (\lambda-\lambda_{s})^{k_{1s}}\\ d_{2}(\lambda)=(\lambda-\lambda_{1})^{k_{21}}(\lambda-\lambda_{2})^{k_{22}}\cdot \cdot \cdot (\lambda-\lambda_{s})^{k_{2s}}\\ ....................\\ d_{r}(\lambda)=(\lambda-\lambda_{1})^{k_{r1}}(\lambda-\lambda_{2})^{k_{r2}}\cdot \cdot \cdot (\lambda-\lambda_{s})^{k_{rs}}d1(λ)=(λ−λ1)k11(λ−λ2)k12⋅⋅⋅(λ−λs)k1sd2(λ)=(λ−λ1)k21(λ−λ2)k22⋅⋅⋅(λ−λs)k2s....................dr(λ)=(λ−λ1)kr1(λ−λ2)kr2⋅⋅⋅(λ−λs)krs
这里rrr为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的秩，λ1\lambda_{1}λ1，λ2\lambda_{2}λ2，.........，λs\lambda_{s}λs为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)互不相等的特征值，且由不变因子的依次整除性，有
kij≥0,且k1j≤k2j≤⋅⋅⋅≤krjk_{ij}\geq0,且k_{1j}\leq k_{2j}\leq \cdot \cdot \cdot \leq k_{rj}kij≥0,且k1j≤k2j≤⋅⋅⋅≤krj
在分解式中，所有指数大于零的因子都称为是A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的初等因子。

总结初等因子的定义。
定义8：在A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的不变因子的分解式中，若kij≥0k_{ij}\geq0kij≥0，则称相对应的因式(λ−λj)kij(\lambda-\lambda_{j})^{k_{ij}}(λ−λj)kij为A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的一个初等因子。初等因子的全体，称作A(λ)\mathtt {A}(\lambda)A(λ)的初等因子组。

定义9：设A\mathtt {A}A为nnn阶数字矩阵，则称A\mathtt {A}A的特征矩阵λI−A\lambda\mathtt {I}-\mathtt {A}λI−A的行列式因子为A\mathtt {A}A的行列式因子，称λI−A\lambda\mathtt {I}-\mathtt {A}λI−A的不变因子为A\mathtt {A}A的不变因子，称λI−A\lambda\mathtt {I}-\mathtt {A}λI−A的初等因子为A\mathtt {A}A的初等因子。

五.Jordan标准形

定义10：形如
J=[λ1λ1⋱⋱⋱1λ]\mathtt {J}=\begin{bmatrix} {\lambda}&{1}&{}&{}\\ {}&{\lambda}&{1}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{\ddots}\\ {}&{}&{}&{\ddots}&{1}\\ {}&{}&{}&{}&{\lambda}\\ \end{bmatrix}J=⎣⎢⎢⎢⎢⎡λ1λ1⋱⋱⋱1λ⎦⎥⎥⎥⎥⎤
的mmm阶方阵称为mmm阶Jordan块，其中λ\lambdaλ可以是实数，也可以是复数。特别指出，若λ\lambdaλ是矩阵A\mathtt {A}A的特征值，则称它为A\mathtt {A}A的特征值λ\lambdaλ的Jordan块。作为特例，一阶方阵是111阶Jordan块。

定义11：设mim_{i}mi阶Jordan块为
Ji=[λi1λi1⋱⋱⋱1λi]mi,(i=1,2,...,s)\mathtt {J_{i}}=\begin{bmatrix} {\lambda_{i}}&{1}&{}&{}\\ {}&{\lambda_{i}}&{1}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{\ddots}\\ {}&{}&{}&{\ddots}&{1}\\ {}&{}&{}&{}&{\lambda_{i}}\\ \end{bmatrix}_{m_{i}},(i=1,2,...,s)Ji=⎣⎢⎢⎢⎢⎡λi1λi1⋱⋱⋱1λi⎦⎥⎥⎥⎥⎤mi,(i=1,2,...,s)
则这些Jordan块的直和
J=[J1J2⋱Js]\mathtt {J}=\begin{bmatrix} {\mathtt {J_{1}}}&{}&{}&{}\\ {}&{\mathtt {J_{2}}}&{}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{}&{\mathtt {J_{s}}}\\ \end{bmatrix}J=⎣⎢⎢⎡J1J2⋱Js⎦⎥⎥⎤
称为nnn阶Jordan矩阵，其中n=m1+m2+⋅⋅⋅+msn=m_{1}+m_{2}+\cdot\cdot\cdot+m_{s}n=m1+m2+⋅⋅⋅+ms。

由于111阶Jordan块就是一阶矩阵，所以对角矩阵是Jordan矩阵的特例。例如
[33−2]\begin{bmatrix} {3}&{}&{}\\ {}&{3}&{}\\ {}&{}&{-2}\\ \end{bmatrix}⎣⎡33−2⎦⎤
可以看做是由3个111阶Jordan块组成。

定义12：与矩阵A\mathtt {A}A相似的任何Jordan矩阵，称为矩阵A\mathtt {A}A的Jordan标准形矩阵，简称Jordan标准形。

六.Jordan标准形的求法

对于Jordan标准形，一般有两种求法。
方法1：初等因子法。
定理4：mmm阶Jordan块
Jm=[λ01λ01⋱⋱⋱1λ0]m\mathtt {J_{m}}=\begin{bmatrix} {\lambda_{0}}&{1}&{}&{}\\ {}&{\lambda_{0}}&{1}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{\ddots}\\ {}&{}&{}&{\ddots}&{1}\\ {}&{}&{}&{}&{\lambda_{0}}\\ \end{bmatrix}_{m}Jm=⎣⎢⎢⎢⎢⎡λ01λ01⋱⋱⋱1λ0⎦⎥⎥⎥⎥⎤m
只有一个初等因子(λ−λ0)m(\lambda-\lambda_{0})^{m}(λ−λ0)m。用Jmi(λi)\mathtt {J}_{m{i}}(\lambda_{i})Jmi(λi)表示主对角线上元素为λi\lambda_{i}λi，阶数为mim_{i}mi的Jordan块，则Jordan矩阵
J=[Jm1(λ1)Jm2(λ2)⋱Jms(λs)]\mathtt {J}=\begin{bmatrix} {\mathtt {J_{m_{1}}}(\lambda_{1})}&{}&{}&{}\\ {}&{\mathtt {J_{m_{2}}}(\lambda_{2})}&{}&{}\\ {}&{}&{\ddots}&{}\\ {}&{}&{}&{\mathtt {{J_{m_{s}}}(\lambda_{s})}}\\ \end{bmatrix}J=⎣⎢⎢⎡Jm1(λ1)Jm2(λ2)⋱Jms(λs)⎦⎥⎥⎤
的初等因子组为
(λ−λ1)m1，(λ−λ2)m2，...，(λ−λs)ms(\lambda-\lambda_{1})^{m_{1}}，(\lambda-\lambda_{2})^{m_{2}}，...，(\lambda-\lambda_{s})^{m_{s}}(λ−λ1)m1，(λ−λ2)m2，...，(λ−λs)ms

用初等因子法求Jordan标准形，只需要先求矩阵的初等因子组，Jordan标准形就是所有Jordan块的直和。

方法2：波尔曼法。
这是一种求nnn阶矩阵A\mathtt {A}A的Jordan标准形较为简便的方法。其基本步骤如下：
（1）求出矩阵A\mathtt {A}A的所有特征值λi(i=1,2,...,n)\lambda_{i}(i=1,2,...,n)λi(i=1,2,...,n)
（2）对每个不同特征值λi\lambda_{i}λi和每个j(j=1,2,...,n)j(j=1,2,...,n)j(j=1,2,...,n)求矩阵(λiI−A)j(\lambda_{i}\mathtt {I}-\mathtt {A})^{j}(λiI−A)j的秩，记为rj(λi)=r(λiI−A)jr_{j}(\lambda_{i})=r(\lambda_{i}\mathtt {I}-\mathtt {A})^{j}rj(λi)=r(λiI−A)j在计算秩时，若对某个j0j_{0}j0，使rj0(λi)=rj0+1(λi)r_{j_{0}}(\lambda_{i})=r_{j_{0}+1}(\lambda_{i})rj0(λi)=rj0+1(λi)则对所有的j≥j0j\geq j_{0}j≥j0，都有rj(λi)=rj0(λi)r_{j}(\lambda_{i})=r_{j_{0}}(\lambda_{i})rj(λi)=rj0(λi)
（3）对每个λi(i=1,2,...,n)\lambda_{i}(i=1,2,...,n)λi(i=1,2,...,n)求关于λ=λi\lambda=\lambda_{i}λ=λi的约当块的阶数jjj和约当块个数bj(λi)b_{j}(\lambda_{i})bj(λi)。
b1(λi)=n−2r1(λi)+r2(λi)bj(λi)=rj+1(λi)−2rj(λi)+rj−1(λi)，(j≥2)b_{1}(\lambda_{i})=n-2r_{1}(\lambda_{i})+r_{2}(\lambda_{i})\\ b_{j}(\lambda_{i})=r_{j+1}(\lambda_{i})-2r_{j}(\lambda_{i})+r_{j-1}(\lambda_{i})，(j\geq 2)b1(λi)=n−2r1(λi)+r2(λi)bj(λi)=rj+1(λi)−2rj(λi)+rj−1(λi)，(j≥2)
这里需要说明的是，若求出bj(λi)=sb_{j}(\lambda_{i})=sbj(λi)=s，则说明有sss个关于λ=λi\lambda=\lambda_{i}λ=λi的jjj阶Jordan块。
（4）写出与A\mathtt {A}A相似的Jordan标准形，它有A\mathtt {A}A的每个特征值λi\lambda_{i}λi的bj(λi)b_{j}(\lambda_{i})bj(λi)个关于λ=λi\lambda=\lambda_{i}λ=λi的jjj阶Jordan块的直和组成。