高等数学（第七版）同济大学习题1-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题1-1

函数作图软件：Mathematica

1.求下列函数的自然定义域\begin{aligned}&1. 求下列函数的自然定义域&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\end{aligned}1.求下列函数的自然定义域

(1)y=3x+2(2)y=11−x2(3)y=1x−1−x2(4)y=14−x2(5)y=sinx(6)y=tan(x+1)(7)y=arcsin(x−3)(8)y=3−x+arctan1x(9)y=ln(x+1)(10)y=e1x\begin{aligned} &(1)\ \ y=\sqrt{3x+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=\frac{1}{1-x^2}\\\\ &(3)\ \ y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\\\\ &(5)\ \ y=sin\sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ y=tan(x+1)\\\\ &(7)\ \ y=arcsin(x-3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ y=\sqrt{3-x}+arctan\frac{1}{x}\\\\ &(9)\ \ y=ln(x+1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ y=e^{\frac{1}{x}}\\\\ & \end{aligned}(1) y=3x+2 (2) y=1−x21(3) y=x1−1−x2 (4) y=4−x21(5) y=sinx (6) y=tan(x+1)(7) y=arcsin(x−3) (8) y=3−x+arctanx1(9) y=ln(x+1) (10) y=ex1

解：

(1)因为根号内的值必须大于等于0，所以3x+2≥0，得x≥−23定义域为[−23,+∞)(2)因为分母不得为0，所以1−x2≠0，得x≠±1定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)(3)在1x中，x≠0，中，1−x2≥0，即x2≤1，−1≤x≤1定义域为[−1,0)∪(0,1](4)分母4−x2不为0，也就是4−x2>0，即x2<4，−2<x<2定义域为(−2,2)(5)因为sin函数的定义域为R，所以内x≥0定义域为[0,+∞)(6)因为tan函数的定义域为kπ+π2(k∈Z)周期范围之间，所以x+1≠kπ+π2(k∈Z)定义域为{x∣x∈R且x≠(k+12)π−1,k∈Z}(7)因为arcsin函数的定义域为[−1,1]，所以−1≤x−3≤1，得2≤x≤4定义域为[2,4](8)内3−x≥0，即x≤3，arctan函数的定义域为R，也就是x≠0，得出定义域为(−∞,0)∪(0,3](9)对数函数中自变量应该是大于0的，也就是x+1<0，即x<−1，得出定义域为(−1,+∞)(10)指数函数中的指数定义域为R，但是x为分母，所以x≠0，得出定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)\begin{aligned} &(1)\ \ 因为根号\sqrt{\ \ }内的值必须大于等于0，所以3x+2 \ge 0，得x \ge -\frac{2}{3}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为[-\frac{2}{3}, +\infty)\\\\ &(2)\ \ 因为分母不得为0，所以1-x^2 \neq 0，得x \neq \pm 1\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为(-\infty, \ -1) \cup (-1, \ 1) \cup (1, \ +\infty)\\\\ &(3)\ \ 在 \frac{1}{x}中，x \neq 0，\sqrt{\ \ }中，1-x^2 \ge 0，即x^2 \le 1，-1 \le x \le 1\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为[-1, \ 0) \cup (0, \ 1]\\\\ &(4)\ \ 分母\sqrt{4-x^2}不为0，也就是4-x^2 \gt 0，即x^2 \lt 4，-2 \lt x \lt 2\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为(-2, \ 2)\\\\ &(5)\ \ 因为sin函数的定义域为R，所以\sqrt{\ \ }内x \ge 0\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为[0, \ +\infty)\\\\ &(6)\ \ 因为tan函数的定义域为k\pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)周期范围之间，所以x+1 \neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为\left\{x \ \bigg| \ x \in R\ 且 \ x \neq \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi-1, \ k \in Z \right\} \\\\ &(7)\ \ 因为arcsin函数的定义域为[-1, \ 1]，所以-1 \le x-3 \le 1，得2 \le x \le 4\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为[2, \ 4]\\\\ &(8)\ \ \sqrt{\ \ }内3-x \ge 0，即x \le 3，arctan函数的定义域为R，也就是x \neq 0，得出\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为(-\infty, \ 0) \cup (0, \ 3]\\\\ &(9)\ \ 对数函数中自变量应该是大于0的，也就是x+1 \lt 0，即x \lt -1，得出\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 定义域为(-1, \ +\infty)\\\\ &(10)\ \ 指数函数中的指数定义域为R，但是x为分母，所以x \neq 0，得出\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 定义域为(-\infty, \ 0) \cup (0, \ +\infty) & \end{aligned}(1) 因为根号内的值必须大于等于0，所以3x+2≥0，得x≥−32 定义域为[−32,+∞)(2) 因为分母不得为0，所以1−x2=0，得x=±1 定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞)(3) 在x1中，x=0，中，1−x2≥0，即x2≤1，−1≤x≤1 定义域为[−1, 0)∪(0, 1](4) 分母4−x2不为0，也就是4−x2>0，即x2<4，−2<x<2 定义域为(−2, 2)(5) 因为sin函数的定义域为R，所以内x≥0 定义域为[0, +∞)(6) 因为tan函数的定义域为kπ+2π(k∈Z)周期范围之间，所以x+1=kπ+2π(k∈Z) 定义域为{x ∣∣∣∣ x∈R 且 x=(k+21)π−1, k∈Z}(7) 因为arcsin函数的定义域为[−1, 1]，所以−1≤x−3≤1，得2≤x≤4 定义域为[2, 4](8) 内3−x≥0，即x≤3，arctan函数的定义域为R，也就是x=0，得出定义域为(−∞, 0)∪(0, 3](9) 对数函数中自变量应该是大于0的，也就是x+1<0，即x<−1，得出定义域为(−1, +∞)(10) 指数函数中的指数定义域为R，但是x为分母，所以x=0，得出定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)

2.下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？\begin{aligned}&2. 下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？&&&&&&\end{aligned}2.下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？

(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=x2;(3)f(x)=x4−x33,g(x)=xx−13;(4)f(x)=1,g(x)=sec2x−tan2x\begin{aligned} &(1)\ \ f(x)=lg\ x^2, \ g(x)=2lg \ x;\\\\ &(2)\ \ f(x)=x, \ g(x)=\sqrt{x^2};\\\\ &(3)\ \ f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3}, \ g(x)=x\ \sqrt[3]{x-1};\\\\ &(4)\ \ f(x)=1, \ g(x)=sec^2x-tan^2x & \end{aligned}(1) f(x)=lg x2, g(x)=2lg x;(2) f(x)=x, g(x)=x2;(3) f(x)=3x4−x3, g(x)=x 3x−1;(4) f(x)=1, g(x)=sec2x−tan2x

解：

(1)f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)的定义域为(0,+∞)，两者定义域不同，所以f(x)和g(x)不相同。(2)g(x)=x2={x,x≥0,−x,x<0.两者对应法则不同，所以f(x)和g(x)不相同。(3)f(x)和g(x)的定义域为R，定义域相同，两者对应法则也相同。f(x)和g(x)相同。(4)g(x)定义域为{x∣x∈R,x≠(k+12)π，k∈Z}，两者定义域不同f(x)和g(x)不相同。\begin{aligned} &(1)\ \ f(x)的定义域为(-\infty, \ 0) \cup (0, \ +\infty)，g(x)的定义域为(0, \ +\infty)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 两者定义域不同，所以f(x)和g(x)不相同。\\\\ &(2)\ \ g(x)=\sqrt{x^2}=\begin{cases}\ \ \ x, \ x \ge 0,\\\\-x, \ x \lt 0.\end{cases}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 两者对应法则不同，所以f(x)和g(x)不相同。\\\\ &(3)\ \ f(x)和g(x)的定义域为R，定义域相同，两者对应法则也相同。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ f(x)和g(x)相同。\\\\ &(4)\ \ g(x)定义域为\left\{ x \ \bigg| \ x \in R,\ x \neq \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi，k \in Z \right\}，两者定义域不同\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ f(x)和g(x)不相同。\\\\ &&&&&&&&&&&&&& \end{aligned}(1) f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，g(x)的定义域为(0, +∞)，两者定义域不同，所以f(x)和g(x)不相同。(2) g(x)=x2=⎩⎪⎨⎪⎧ x, x≥0,−x, x<0. 两者对应法则不同，所以f(x)和g(x)不相同。(3) f(x)和g(x)的定义域为R，定义域相同，两者对应法则也相同。 f(x)和g(x)相同。(4) g(x)定义域为{x ∣∣∣∣ x∈R, x=(k+21)π，k∈Z}，两者定义域不同 f(x)和g(x)不相同。

3.设φ(x)={∣sinx∣,∣x∣<π3,0,∣x∣≥π3,求φ(π6)，φ(π4)，φ(−π4)，φ(−2)，并作出函数y=φ(x)的图形。\begin{aligned}&3. 设\\\\&\ \ \ \ \varphi(x)=\begin{cases}|sinx|, \ |x| \lt \frac{\pi}{3},\\\\ \ \ \ \ 0, \ \ \ \ \ |x| \ge \frac{\pi}{3},\end{cases}\\\\&\ \ \ 求\ \varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)，\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)，\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)，\varphi(-2)，并作出函数y=\varphi(x)的图形。\end{aligned}3.设 φ(x)=⎩⎪⎨⎪⎧∣sinx∣, ∣x∣<3π, 0, ∣x∣≥3π, 求 φ(6π)，φ(4π)，φ(−4π)，φ(−2)，并作出函数y=φ(x)的图形。

解：

φ(π6)中，−π3<∣π6∣<π3，所以φ(π6)=∣sinπ6∣=∣sin30∘∣=12φ(π4)中，−π3<∣π4∣<π3，所以φ(π4)=∣sinπ4∣=∣sin45∘∣=22φ(−π4)中，−π3<∣−π4∣<π3，所以φ(−π4)=∣sin(−π4)∣=∣sin(−45∘)∣=22φ(−2)中，∣−2∣≥π3，所以φ(−2)=0。\begin{aligned} &\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)中，-\frac{\pi}{3} \lt \bigg|\frac{\pi}{6}\bigg| \lt \frac{\pi}{3}，所以\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right)=|sin\frac{\pi}{6}|=|sin30^{\circ}|=\frac{1}{2}\\\\ &\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)中，-\frac{\pi}{3} \lt \bigg|\frac{\pi}{4}\bigg| \lt \frac{\pi}{3}，所以\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)=|sin\frac{\pi}{4}|=|sin45^{\circ}|=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)中，-\frac{\pi}{3} \lt \bigg|-\frac{\pi}{4}\bigg| \lt \frac{\pi}{3}，所以\varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right)=|sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)|=|sin\left(-45^{\circ}\right)|=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &\varphi(-2)中，|-2| \ \ge \frac{\pi}{3}，所以\varphi(-2)=0。\\\\ & \end{aligned}φ(6π)中，−3π<∣∣∣∣6π∣∣∣∣<3π，所以φ(6π)=∣sin6π∣=∣sin30∘∣=21φ(4π)中，−3π<∣∣∣∣4π∣∣∣∣<3π，所以φ(4π)=∣sin4π∣=∣sin45∘∣=22φ(−4π)中，−3π<∣∣∣∣−4π∣∣∣∣<3π，所以φ(−4π)=∣sin(−4π)∣=∣sin(−45∘)∣=22φ(−2)中，∣−2∣ ≥3π，所以φ(−2)=0。

4.试证下列函数在指定区间内的单调性：\begin{aligned}&4. \ 试证下列函数在指定区间内的单调性：\end{aligned}4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：

(1)y=x1−x，(−∞,1)；(2)y=x+lnx，(0,+∞)\begin{aligned} &(1)\ \ y=\frac{x}{1-x}，(-\infty, \ 1)；\ \ \ \ (2)\ \ y=x+ln \ x，(0, \ +\infty)\\\\ &&&&&&&&& \end{aligned}(1) y=1−xx，(−∞, 1)； (2) y=x+ln x，(0, +∞)

解：

(1)设x1<x2<1，f(x1)−f(x2)=x11−x1−x21−x2=x1−x2(1−x1)(1−x2),因为区间为(−∞,1)，且x1<x2，得f(x1)−f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以y在区间(−∞,1)上是单调增加的。\begin{aligned} &(1)\ \ 设x_1<x_2<1，f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}=\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)},\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 因为区间为(-\infty, \ 1)，且x_1<x_2，得f(x_1)-f(x_2)<0，f(x_1)<f(x_2)，所以y在区间(-\infty, \ 1)上是单调增加的。\\\\ & \end{aligned}(1) 设x1<x2<1，f(x1)−f(x2)=1−x1x1−1−x2x2=(1−x1)(1−x2)x1−x2, 因为区间为(−∞, 1)，且x1<x2，得f(x1)−f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以y在区间(−∞, 1)上是单调增加的。

(2)设0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=x1+lnx1−x2−lnx2=x1−x2+ln(x1x2)，因为在区间(0,+∞)上x1<x2，得x1−x2<0，且ln(x1x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以y在区间(0,+∞)上是单调增加的。\begin{aligned} &(2)\ \ 设0<x_1<x_2，f(x_1)-f(x_2)=x_1+ln \ x_1-x_2-ln \ x_2=x_1-x_2+ln \ \left(\frac{x_1}{x_2}\right)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 因为在区间(0, \ +\infty)上x_1<x_2，得x_1-x_2<0，且ln \ \left(\frac{x_1}{x_2}\right)<0，即f(x_1)-f(x_2)<0，&f(x_1)<f(x_2)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 所以y在区间(0, \ +\infty)上是单调增加的。 & \end{aligned}(2) 设0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=x1+ln x1−x2−ln x2=x1−x2+ln (x2x1)，因为在区间(0, +∞)上x1<x2，得x1−x2<0，且ln (x2x1)<0，即f(x1)−f(x2)<0，所以y在区间(0, +∞)上是单调增加的。f(x1)<f(x2)，

5.设f(x)为定义在(−l,l)内的奇函数，若f(x)在(0,l)内单调增加，证明f(x)在(−l,0)内也单调增加。\begin{aligned}&5. \ 设f(x)为定义在(-l, \ l)内的奇函数，若f(x)在(0, \ l)内单调增加，证明f(x)在(-l, \ 0)内也单调增加。\end{aligned}5. 设f(x)为定义在(−l, l)内的奇函数，若f(x)在(0, l)内单调增加，证明f(x)在(−l, 0)内也单调增加。

解：

设−l<x1<x2<0，则0<−x2<−x1<l，由f(x)是奇函数，得f(x1)−f(x2)=−f(−x1)+f(−x2)<0，也就是f(−x1)>f(−x2)，−f(x1)>−f(x2)，f(x1)<f(x2)，因为f(x)在(0,l)区间内单调增加，所以f(x1)−f(x2)<0，−f(−x1)+f(−x2)<0，f(−x1)−f(−x2)>0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(−l,0)内也是单调增加的。\begin{aligned} &\ \ 设-l <x_1< x_2< 0，则0<-x_2<-x_1<l，由f(x)是奇函数，得f(x_1)-f(x_2)=-f(-x_1)+f(-x_2)<0，\\\\ &\ \ 也就是f(-x_1)>f(-x_2)，-f(x_1)>-f(x_2)，f(x_1)<f(x_2)，\\\\ &\ \ 因为f(x)在(0, \ l)区间内单调增加，所以f(x_1)-f(x_2)<0，-f(-x_1)+f(-x_2)<0，f(-x_1)-f(-x_2)>0，\\\\ &\ \ 即f(x_1)<f(x_2)，f(x)在(-l, \ 0)内也是单调增加的。 & \end{aligned} 设−l<x1<x2<0，则0<−x2<−x1<l，由f(x)是奇函数，得f(x1)−f(x2)=−f(−x1)+f(−x2)<0，也就是f(−x1)>f(−x2)，−f(x1)>−f(x2)，f(x1)<f(x2)，因为f(x)在(0, l)区间内单调增加，所以f(x1)−f(x2)<0，−f(−x1)+f(−x2)<0，f(−x1)−f(−x2)>0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(−l, 0)内也是单调增加的。

6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(−l,l)上的，证明：\begin{aligned}&6. \ 设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l, \ l)上的，证明：\end{aligned}6. 设下面所考虑的函数都是定义在区间(−l, l)上的，证明：

(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。\begin{aligned} &\ \ (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。\\\\ &\ \ (2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。\end{aligned} (1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。 (2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

解：

(1)设f1(x)，f2(x)为偶函数，f1(x)=f1(−x)，f2(x)=f2(−x)，令F(x)=f1(x)+f2(x)，得F(−x)=f1(−x)+f2(−x)=f1(x)+f2(x)=F(x)，所以两个偶函数的和是偶函数。设f1(x)，f2(x)为奇函数，f1(−x)=−f1(x)，f2(−x)=−f2(x)，令F(x)=f1(x)+f2(x)，得F(−x)=f1(−x)+f2(−x)=−f1(x)−f2(x)=−F(x)，所以两个奇函数的和是奇函数。(2)设f1(x)，f2(x)为偶函数，f1(x)=f1(−x)，f2(x)=f2(−x)，令F(x)=f1(x)×f2(x)，得F(−x)=f1(−x)×f2(−x)=f1(x)×f2(x)=F(x)，所以两个偶函数的乘积是偶函数。设f1(x)，f2(x)为奇函数，f1(−x)=−f1(x)，f2(−x)=−f2(x)，令F(−x)=f1(−x)×f2(−x)，得F(−x)=−f1(x)×−f2(x)=f1(x)×f2(x)=F(x)，所以两个奇函数的乘积是偶函数。设f1(x)是奇函数，f2(x)是偶函数，f1(−x)=−f1(x)，f2(−x)=f2(x)，令F(−x)=f1(−x)×f2(−x)，得F(−x)=−f1(x)×f2(x)=−F(x)，所以偶函数与奇函数的乘积是奇函数。\begin{aligned} &\ \ (1)设f_1(x)，f_2(x)为偶函数，f_1(x)=f_1(-x)，f_2(x)=f_2(-x)，令F(x)=f_1(x)+f_2(x)，\\\\ &\ \ 得F(-x)=f_1(-x)+f_2(-x)=f_1(x)+f_2(x)=F(x)，所以两个偶函数的和是偶函数。\\\\ &\ \ 设f_1(x)，f_2(x)为奇函数，f_1(-x)=-f_1(x)，f_2(-x)=-f_2(x)，令F(x)=f_1(x)+f_2(x)，\\\\ &\ \ 得F(-x)=f_1(-x)+f_2(-x)=-f_1(x)-f_2(x)=-F(x)，所以两个奇函数的和是奇函数。\\\\ &\ \ (2)设f_1(x)，f_2(x)为偶函数，f_1(x)=f_1(-x)，f_2(x)=f_2(-x)，令F(x)=f_1(x) \times f_2(x)，\\\\ &\ \ 得F(-x)=f_1(-x) \times f_2(-x)=f_1(x) \times f_2(x)=F(x)，所以两个偶函数的乘积是偶函数。\\\\ &\ \ 设f_1(x)，f_2(x)为奇函数，f_1(-x)=-f_1(x)，f_2(-x)=-f_2(x)，令F(-x)=f_1(-x) \times f_2(-x)，\\\\ &\ \ 得F(-x)=-f_1(x) \times -f_2(x)=f_1(x) \times f_2(x)=F(x)，所以两个奇函数的乘积是偶函数。\\\\ &\ \ 设f_1(x)是奇函数，f_2(x)是偶函数，f_1(-x)=-f_1(x)，f_2(-x)=f_2(x)，令F(-x)=f_1(-x) \times f_2(-x)，\\\\ &\ \ 得F(-x)=-f_1(x) \times f_2(x)=-F(x)，所以偶函数与奇函数的乘积是奇函数。\\\\ & \end{aligned} (1)设f1(x)，f2(x)为偶函数，f1(x)=f1(−x)，f2(x)=f2(−x)，令F(x)=f1(x)+f2(x)，得F(−x)=f1(−x)+f2(−x)=f1(x)+f2(x)=F(x)，所以两个偶函数的和是偶函数。设f1(x)，f2(x)为奇函数，f1(−x)=−f1(x)，f2(−x)=−f2(x)，令F(x)=f1(x)+f2(x)，得F(−x)=f1(−x)+f2(−x)=−f1(x)−f2(x)=−F(x)，所以两个奇函数的和是奇函数。 (2)设f1(x)，f2(x)为偶函数，f1(x)=f1(−x)，f2(x)=f2(−x)，令F(x)=f1(x)×f2(x)，得F(−x)=f1(−x)×f2(−x)=f1(x)×f2(x)=F(x)，所以两个偶函数的乘积是偶函数。设f1(x)，f2(x)为奇函数，f1(−x)=−f1(x)，f2(−x)=−f2(x)，令F(−x)=f1(−x)×f2(−x)，得F(−x)=−f1(x)×−f2(x)=f1(x)×f2(x)=F(x)，所以两个奇函数的乘积是偶函数。设f1(x)是奇函数，f2(x)是偶函数，f1(−x)=−f1(x)，f2(−x)=f2(x)，令F(−x)=f1(−x)×f2(−x)，得F(−x)=−f1(x)×f2(x)=−F(x)，所以偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？\begin{aligned}&7. \ 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？\end{aligned}7. 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？

(1)y=x2(1−x2)；(2)y=3x2−x3；(3)y=1−x21+x2；(4)y=x(x−1)(x+1)；(5)y=sinx−cosx+1；(6)y=ax+a−x2；\begin{aligned} &\ \ (1)y=x^2(1-x^2)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)y=3x^2-x^3；\\\\ &\ \ (3)y=\frac{1-x^2}{1+x^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)y=x(x-1)(x+1)；\\\\ &\ \ (5)y=sin \ x-cos \ x+1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)y=\frac{a^x+a^{-x}}{2}；\\\\ & \end{aligned} (1)y=x2(1−x2)； (2)y=3x2−x3； (3)y=1+x21−x2； (4)y=x(x−1)(x+1)； (5)y=sin x−cos x+1； (6)y=2ax+a−x；

解：

(1)f(x)=x2(1−x2)，f(−x)=(−x)2(1−(−x)2)=x2(1−x2)=f(x)，该函数为偶函数。(2)f(x)=3x2−x3，f(−x)=3(−x)2−(−x)3=3x2+x3，该函数非奇非偶。(3)f(x)=1−x21+x2，f(−x)=1−(−x)21+(−x)2=1−x21+x2=f(x)，该函数为偶函数。(4)f(x)=x(x−1)(x+1)，f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=−x(x−1)(x+1)=−f(x)，该函数为奇函数。(5)f(x)=sinx−cosx+1，f(−x)=sin(−x)−cos(−x)+1=−sinx−cosx+1，该函数非奇非偶。(6)f(x)=ax+a−x2，f(−x)=a−x+ax2=f(x)，该函数为偶函数。\begin{aligned} &\ \ (1)f(x)=x^2(1-x^2)，f(-x)=(-x)^2(1-(-x)^2)=x^2(1-x^2)=f(x)，该函数为偶函数。\\\\ &\ \ (2)f(x)=3x^2-x^3，f(-x)=3(-x)^2-(-x)^3=3x^2+x^3，该函数非奇非偶。\\\\ &\ \ (3)f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}，f(-x)=\frac{1-(-x)^2}{1+(-x)^2}=\frac{1-x^2}{1+x^2}=f(x)，该函数为偶函数。\\\\ &\ \ (4)f(x)=x(x-1)(x+1)，f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x-1)(x+1)=-f(x)，该函数为奇函数。\\\\ &\ \ (5)f(x)=sin \ x - cos \ x+1，f(-x)=sin \ (-x)-cos \ (-x)+1=-sin \ x -cos \ x+1，该函数非奇非偶。\\\\ &\ \ (6)f(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2}，f(-x)=\frac{a^{-x}+a^x}{2}=f(x)，该函数为偶函数。\\\\ & \end{aligned} (1)f(x)=x2(1−x2)，f(−x)=(−x)2(1−(−x)2)=x2(1−x2)=f(x)，该函数为偶函数。 (2)f(x)=3x2−x3，f(−x)=3(−x)2−(−x)3=3x2+x3，该函数非奇非偶。 (3)f(x)=1+x21−x2，f(−x)=1+(−x)21−(−x)2=1+x21−x2=f(x)，该函数为偶函数。 (4)f(x)=x(x−1)(x+1)，f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=−x(x−1)(x+1)=−f(x)，该函数为奇函数。 (5)f(x)=sin x−cos x+1，f(−x)=sin (−x)−cos (−x)+1=−sin x−cos x+1，该函数非奇非偶。 (6)f(x)=2ax+a−x，f(−x)=2a−x+ax=f(x)，该函数为偶函数。

8.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：\begin{aligned}&8. \ 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：\end{aligned}8. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：

(1)y=cos(x−2)；(2)y=cos4x；(3)y=1+sinπx；(4)y=xcosx；(5)y=sin2x\begin{aligned} &\ \ (1)y=cos\ (x-2)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)y=cos \ 4x；\\\\ &\ \ (3)y=1+sin\ \pi x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)y=xcos\ x；\\\\ &\ \ (5)y=sin^2 \ x \\\\ & \end{aligned} (1)y=cos (x−2)； (2)y=cos 4x； (3)y=1+sin πx； (4)y=xcos x； (5)y=sin2 x

解：

(1)因为cosx的周期为2π，所以cos(x−2)的周期同样为2π。\begin{aligned} &\ \ (1)因为cos\ x的周期为2\pi，所以cos\ (x-2)的周期同样为2\pi。\\\\ & \end{aligned}  (1)因为cos x的周期为2π，所以cos (x−2)的周期同样为2π。

(2)cos4x的周期为2π4=π2。\begin{aligned} &\ \ (2)cos\ 4x的周期为\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}。\\\\ & \end{aligned}  (2)cos 4x的周期为42π=2π。

(3)1+sinπx的周期为2ππ=2。\begin{aligned} &\ \ (3)1+sin\ \pi x的周期为\frac{2\pi}{\pi}=2。\\\\ & \end{aligned}  (3)1+sin πx的周期为π2π=2。

(4)xcosx不是周期函数。\begin{aligned} &\ \ (4)xcos\ x不是周期函数。\\\\ & \end{aligned}  (4)xcos x不是周期函数。

(5)sin2x的周期为π。\begin{aligned} &\ \ (5)sin^2x的周期为\pi。\\\\ & \end{aligned}  (5)sin2x的周期为π。

9.求下列函数的反函数：\begin{aligned}&9. \ 求下列函数的反函数：\end{aligned}9. 求下列函数的反函数：

(1)y=x+13；(2)y=1−x1+x；(3)y=ax+bcx+d(ad−bc≠0)；(4)y=2sin3x(−π6≤x≤π6)；(5)y=1+ln(x+2)；(6)y=2x2x+1\begin{aligned} &\ \ (1)y=\sqrt[3]{x+1}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)y=\frac{1-x}{1+x}；\\\\ &\ \ (3)y=\frac{ax+b}{cx+d}\ (ad-bc \neq 0)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)y=2sin\ 3x\left(-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{6}\right)；\\\\ &\ \ (5)y=1+ln(x+2)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)y=\frac{2^x}{2^x+1}\\\\ & \end{aligned} (1)y=3x+1； (2)y=1+x1−x； (3)y=cx+dax+b (ad−bc=0)； (4)y=2sin 3x(−6π≤x≤6π)； (5)y=1+ln(x+2)； (6)y=2x+12x

解：

(1)x=y3−1，即y=x3−1，定义域为R。(2)y(1+x)=1−x，x=1−y1+y，即y=1−x1+x，定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)。(3)x=−dy−bcy−a，即y=−dx−bcx−a(4)x=arcsin(y2)3，即y=13arcsin(x2)(5)x=ey−1−2，即y=ex−1−2(6)2xy+y=2x，2x=y1−y，x=log2y1−y，即y=log2x1−x\begin{aligned} &\ \ (1)x=y^3-1，即y=x^3-1，定义域为R。\\\\ &\ \ (2)y(1+x)=1-x，x=\frac{1-y}{1+y}，即y=\frac{1-x}{1+x}，定义域为(-\infty, \ -1) \cup (-1, \ +\infty)。\\\\ &\ \ (3)x=-\frac{dy-b}{cy-a}，即y=-\frac{dx-b}{cx-a}\\\\ &\ \ (4)x=\frac{arcsin\ (\frac{y}{2})}{3}，即y=\frac{1}{3}{arcsin\ \left(\frac{x}{2}\right)}\\\\ &\ \ (5)x=e^{y-1}-2，即y=e^{x-1}-2\\\\ &\ \ (6)2^xy+y=2^x，2^x=\frac{y}{1-y}，x=log_2\frac{y}{1-y}，即y=log_2\frac{x}{1-x}\\\\ & \end{aligned} (1)x=y3−1，即y=x3−1，定义域为R。 (2)y(1+x)=1−x，x=1+y1−y，即y=1+x1−x，定义域为(−∞, −1)∪(−1, +∞)。 (3)x=−cy−ady−b，即y=−cx−adx−b (4)x=3arcsin (2y)，即y=31arcsin (2x) (5)x=ey−1−2，即y=ex−1−2 (6)2xy+y=2x，2x=1−yy，x=log21−yy，即y=log21−xx

10.设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。\begin{aligned}&10. \ 设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。\end{aligned}10. 设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。

解：

充分条件：设函数f(x)在X上有界，即存在M>0，使得∣f(x)∣≤M，x∈X，故−M≤f(x)≤M，x∈X，即f(x)在X上有上界M，有下界−M。必要条件：设f(x)在X上有上界K1，下界K2，即K2≤f(x)≤K1，x∈X，取M=max∣∣K1∣,∣K2∣∣，则有∣f(x)∣≤M，x∈X，即f(x)在X上有界。\begin{aligned} &\ \ 充分条件：设函数f(x)在X上有界，即存在M>0，使得\\\\ &\ \ |f(x)| \le M，x \in X，故-M \le f(x) \le M，x \in X，即f(x)在X上有上界M，有下界-M。\\\\ &\ \ 必要条件：设f(x)在X上有上界K_1，下界K_2，即K_2 \le f(x) \le K_1，x \in X，\\\\ &\ \ 取M=max||K_1|, \ |K_2||，则有|f(x)| \le M，x \in X，即f(x)在X上有界。\\\\ & \end{aligned} 充分条件：设函数f(x)在X上有界，即存在M>0，使得 ∣f(x)∣≤M，x∈X，故−M≤f(x)≤M，x∈X，即f(x)在X上有上界M，有下界−M。必要条件：设f(x)在X上有上界K1，下界K2，即K2≤f(x)≤K1，x∈X，取M=max∣∣K1∣, ∣K2∣∣，则有∣f(x)∣≤M，x∈X，即f(x)在X上有界。

11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值。\begin{aligned}&11. \ 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x_1和x_2的函数值。\end{aligned}11. 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值。

(1)y=u2，u=sinx，x1=π6，x2=π3；(2)y=sinu，u=2x，x1=π8，x2=π4；(3)y=u，u=1+x2，x1=1，x2=2；(4)y=eu，u=x2，x1=0，x2=1；(5)y=u2，u=ex，x1=1，x2=−1；\begin{aligned} &\ \ (1)y=u^2，u=sin\ x，x_1=\frac{\pi}{6}，x_2=\frac{\pi}{3}；\\\\ &\ \ (2)y=sin\ u，u=2x，x_1=\frac{\pi}{8}，x_2=\frac{\pi}{4}；\\\\ &\ \ (3)y=\sqrt{u}，u=1+x^2，x_1=1，x_2=2；\\\\ &\ \ (4)y=e^u，u=x^2，x_1=0，x_2=1；\\\\ &\ \ (5)y=u^2，u=e^x，x_1=1，x_2=-1；\\\\ & \end{aligned} (1)y=u2，u=sin x，x1=6π，x2=3π； (2)y=sin u，u=2x，x1=8π，x2=4π； (3)y=u，u=1+x2，x1=1，x2=2； (4)y=eu，u=x2，x1=0，x2=1； (5)y=u2，u=ex，x1=1，x2=−1；

解：

(1)y=sin2x，x1=π6时，y=sin2(π6)=14，x2=π3时，y=sin2(π3)=34(2)y=sin2x，x1=π8时，y=sin(π4)=22，x2=π4时，y=sin(π2)=1(3)y=1+x2，x1=1时，y=2，x2=2时，y=5(4)y=ex2，x1=0时，y=1，x2=1时，y=e(5)y=e2x，x1=1时，y=e2，x2=−1时，y=e−2\begin{aligned} &\ \ (1)y=sin^2\ x， x_1=\frac{\pi}{6}时，y=sin^2\ \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{4}，x_2=\frac{\pi}{3}时，y=sin^2\ \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{4}\\\\ &\ \ (2)y=sin\ 2x， x_1=\frac{\pi}{8}时，y=sin\ \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}，x_2=\frac{\pi}{4}时，y=sin\ \left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\\\ &\ \ (3)y=\sqrt{1+x^2}，x_1=1时，y=\sqrt{2}，x_2=2时，y=\sqrt{5}\\\\ &\ \ (4)y=e^{x^2}，x_1=0时，y=1，x_2=1时，y=e\\\\ &\ \ (5)y=e^{2x}，x_1=1时，y=e^2，x_2=-1时，y=e^{-2}\\\\ & \end{aligned} (1)y=sin2 x，x1=6π时，y=sin2 (6π)=41，x2=3π时，y=sin2 (3π)=43 (2)y=sin 2x，x1=8π时，y=sin (4π)=22，x2=4π时，y=sin (2π)=1 (3)y=1+x2，x1=1时，y=2，x2=2时，y=5 (4)y=ex2，x1=0时，y=1，x2=1时，y=e (5)y=e2x，x1=1时，y=e2，x2=−1时，y=e−2

12.设f(x)的定义域D=[0,1]，求下列各函数的定义域：\begin{aligned}&12. \ 设f(x)的定义域D=[0,\ 1]，求下列各函数的定义域：\end{aligned}12. 设f(x)的定义域D=[0, 1]，求下列各函数的定义域：

(1)f(x2)；(2)f(sinx)；(3)f(x+a)(a>0)；(4)f(x+a)+f(x−a)(a>0)\begin{aligned} &\ \ (1)f(x^2)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)f(sin\ x)；\\\\ &\ \ (3)f(x+a)\ (a>0)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)f(x+a)+f(x-a)\ (a>0)\\\\ & \end{aligned} (1)f(x2)； (2)f(sin x)； (3)f(x+a) (a>0)； (4)f(x+a)+f(x−a) (a>0)

解：

(1)因为0≤x≤1，得0≤x2≤1，当x2≥0时，x∈R，当x2≤1时，x∈[−1,1]，相交得出定义域为[−1,1]。(2)因为0≤x≤1，得0≤sinx≤1，定义域为{x∣2kπ≤x≤(2k+1)π，k∈Z}(3)因为0≤x≤1，得0≤x+a≤1，−a≤x≤1−a，定义域为[−a,1−a]。(4)因为0≤x≤1，得0≤x+a≤1，0≤x−a≤1，−a≤x≤1−a，a≤x≤1+a，当0<a≤12时，两者相交定义域为[a,1−a]，当a>12时，两者相较定义域为∅。\begin{aligned} &\ \ (1)因为0 \le x \le 1，得0 \le x^2 \le 1，当x^2 \ge 0时，x \in R，当x^2 \le 1时，x \in [-1,\ 1]，相交得出定义域为[-1,\ 1]。\\\\ &\ \ (2)因为0 \le x \le1，得0 \le sin\ x \le 1，定义域为\left\{x\ \bigg|\ \ 2k\pi \le x \le (2k+1)\pi，k \in Z\right\}\\\\ &\ \ (3)因为0 \le x \le 1，得0 \le x+a \le 1，-a \le x \le 1-a，定义域为[-a,\ 1-a]。\\\\ &\ \ (4)因为0 \le x \le 1，得0 \le x+a \le 1，0 \le x-a \le 1，-a \le x \le 1-a，a \le x \le 1+a，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ 当0\lt a\le \frac{1}{2}时，两者相交定义域为[a,\ 1-a]，当a \gt \frac{1}{2}时，两者相较定义域为\emptyset。\\\\ & \end{aligned} (1)因为0≤x≤1，得0≤x2≤1，当x2≥0时，x∈R，当x2≤1时，x∈[−1, 1]，相交得出定义域为[−1, 1]。 (2)因为0≤x≤1，得0≤sin x≤1，定义域为{x ∣∣∣∣ 2kπ≤x≤(2k+1)π，k∈Z} (3)因为0≤x≤1，得0≤x+a≤1，−a≤x≤1−a，定义域为[−a, 1−a]。 (4)因为0≤x≤1，得0≤x+a≤1，0≤x−a≤1，−a≤x≤1−a，a≤x≤1+a，当0<a≤21时，两者相交定义域为[a, 1−a]，当a>21时，两者相较定义域为∅。

13.设f(x)={1,∣x∣<1,0,∣x∣=1，−1，∣x∣>1g(x)=ex，求f[g(x)]和g[f(x)]，并作出这两个函数的图形。\begin{aligned}&13. 设\\\\&\ \ \ \ f(x)=\begin{cases}\ 1, \ \ \ \ \ |x| \lt 1,\\\\ \ 0, \ \ \ \ \ |x|=1，\\\\ -1，\ |x| \gt 1\end{cases}\\\\&\ \ \ \ g(x)=e^x，求f[g(x)]和g[f(x)]，并作出这两个函数的图形。\end{aligned}13.设 f(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 1, ∣x∣<1, 0, ∣x∣=1，−1， ∣x∣>1 g(x)=ex，求f[g(x)]和g[f(x)]，并作出这两个函数的图形。

解：

f[g(x)]=f(ex)={1，x<0，0，x=0，−1，x>0图形为\begin{aligned} &\ \ f[g(x)]=f(e^x)=\begin{cases}\ \ 1，\ x \lt 0，\\\\ \ \ 0，\ x=0，\\\\-1，x>0\end{cases}\\\\ &\ \ 图形为\\\\ & \end{aligned} f[g(x)]=f(ex)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 1， x<0， 0， x=0，−1，x>0 图形为

g[f(x)]=ef(x)={e，∣x∣<1，1，∣x∣=1，e−1，∣x∣>1图形为\begin{aligned} &\ \ g[f(x)]=e^{f(x)}=\begin{cases}e，\ \ \ \ |x| \lt 1，\\\\1，\ \ \ \ |x|=1，\\\\e^{-1}，\ |x| \gt 1\end{cases}\\\\ &\ \ 图形为\\\\ & \end{aligned} g[f(x)]=ef(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧e， ∣x∣<1，1， ∣x∣=1，e−1， ∣x∣>1 图形为

14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角φ=40∘，当过水断面ABCD的面积为定制S0时，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域。\begin{aligned}&14. \ 已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角\varphi=40^{\circ}，当过水断面ABCD的面积为定制S_0时，\\\\&\ \ \ \ \ \ 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域。\end{aligned}14. 已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角φ=40∘，当过水断面ABCD的面积为定制S0时，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域。

解：

AB=hsin40∘，CD=hsin40∘，S0=12(AD+BC)h，因AD=hcot40∘+hcot40∘+BC=2hcot40∘+BC得S0=12(2hcot40∘+BC+BC)h=h2cot40∘+hBC,即BC=S0h−hcot40∘L=S0h−hcot40∘+2hsin40∘=S0h+2−cos40∘sin40∘h因为h>0，且BC=S0h−hcot40∘>0，所以定义域为(0,S0tan40∘)。\begin{aligned} &\ \ AB=\frac{h}{sin\ 40^{\circ}}，CD=\frac{h}{sin\ 40^{\circ}}，\\\\ &\ \ S_0=\frac{1}{2}(AD+BC)h，因AD=h\ cot\ 40^{\circ}+h\ cot\ 40^{\circ}+BC=2h\ cot\ 40^{\circ}+BC\\\\ &\ \ 得S_0=\frac{1}{2}(2h\ cot\ 40^{\circ}+BC+BC)h=h^2\ cot\ 40^{\circ}+h\ BC,\\\\ &\ \ 即BC=\frac{S_0}{h}-h\ cot\ 40^{\circ}\\\\ &\ \ L=\frac{S_0}{h}-h\ cot\ 40^{\circ}+\frac{2h}{sin\ 40^{\circ}}=\frac{S_0}{h}+\frac{2-cos\ 40^{\circ}}{sin\ 40^{\circ}}h\\\\ &\ \ 因为h>0，且BC=\frac{S_0}{h}-h\ cot\ 40^{\circ}>0，所以定义域为(0,\ \sqrt{S_0\ tan\ 40^{\circ}})。\\\\ & \end{aligned} AB=sin 40∘h，CD=sin 40∘h， S0=21(AD+BC)h，因AD=h cot 40∘+h cot 40∘+BC=2h cot 40∘+BC 得S0=21(2h cot 40∘+BC+BC)h=h2 cot 40∘+h BC, 即BC=hS0−h cot 40∘ L=hS0−h cot 40∘+sin 40∘2h=hS0+sin 40∘2−cos 40∘h 因为h>0，且BC=hS0−h cot 40∘>0，所以定义域为(0, S0 tan 40∘)。

15.设xOy平面上有正方形D={(x,y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l:x+y=t(t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求S(t)与t之间的函数关系。\begin{aligned}&15. \ 设xOy平面上有正方形D=\{(x,\ y)|\ 0 \le x \le 1，0 \le y \le 1\}及直线l:x+y=t\ (t \ge 0)。\\\\&若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求S(t)与t之间的函数关系。\end{aligned}15. 设xOy平面上有正方形D={(x, y)∣ 0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l:x+y=t (t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求S(t)与t之间的函数关系。

解：

当0≤t≤1时，S(t)=12t2当1<t≤2时，S(t)=1−12(2−t)2=−12t2+2t−1当t>2时，S(t)=1得S(t)={12t2，0≤t≤1，−12t2+2t−1，1<t≤2，1，t>2\begin{aligned} &\ \ 当0 \le t \le 1时，S(t)=\frac{1}{2}t^2\\\\ &\ \ 当1 \lt t \le 2时，S(t)=1-\frac{1}{2}(2-t)^2=-\frac{1}{2}t^2+2t-1\\\\ &\ \ 当t \gt 2时，S(t)=1\\\\ &\ \ 得\\\\ &\ \ S(t)=\begin{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}t^2，\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \le t \le 1，\\\\-\frac{1}{2}t^2+2t-1，1 \lt t \le 2，\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1，\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \gt 2\end{cases} & \end{aligned} 当0≤t≤1时，S(t)=21t2 当1<t≤2时，S(t)=1−21(2−t)2=−21t2+2t−1 当t>2时，S(t)=1 得 S(t)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 21t2， 0≤t≤1，−21t2+2t−1，1<t≤2， 1， t>2

16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求(1)90∘F的等价摄氏温度和−5∘C的等价华氏温度；(2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？\begin{aligned}&16. \ 求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求\\\\&\ (1)90\ ^{\circ}F的等价摄氏温度和-5\ ^{\circ}C的等价华氏温度；\\\\&\ (2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？ \end{aligned}16. 求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公式，并求 (1)90 ∘F的等价摄氏温度和−5 ∘C的等价华氏温度； (2)是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？

解：

转换公式F=95C+32，C=59(F−32)(1)90∘F≈32.22∘，−5∘C=23∘F(2)假设F=C，F=95F+32，F=−40∘，得出当温度为−40∘时，华氏温度与摄氏温度的值相同。\begin{aligned} &\ \ 转换公式F=\frac{9}{5}C+32，C=\frac{5}{9}(F-32)\\\\ &\ \ (1)90\ ^{\circ}F\approx32.22\ ^{\circ}，-5\ ^{\circ}C=23\ ^{\circ}F\\\\ &\ \ (2)假设F=C，F=\frac{9}{5}F+32，F=-40\ ^{\circ}，得出当温度为-40\ ^{\circ}时，华氏温度与摄氏温度的值相同。\\\\ & \end{aligned} 转换公式F=59C+32，C=95(F−32) (1)90 ∘F≈32.22 ∘，−5 ∘C=23 ∘F (2)假设F=C，F=59F+32，F=−40 ∘，得出当温度为−40 ∘时，华氏温度与摄氏温度的值相同。

17.已知RtΔABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍。设动点P移动的距离为x，ΔCPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系。\begin{aligned}&17. \ 已知Rt\Delta ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按\\\\&C\rightarrow B\rightarrow A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C\rightarrow A\rightarrow B方向移动，移动到两动点相遇时为止，\\\\&且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍。设动点P移动的距离为x，\Delta CPQ的面积为y，\\\\&试求y与x之间的函数关系。\end{aligned}17. 已知RtΔABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍。设动点P移动的距离为x，ΔCPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系。

解：

三角形的面积变化分为三种情况：1.当P位于P1点和C点之间，Q位于Q1点和C点之间时，因为点Q的移动速度是点P的2倍，所以Q1点位于A点位置，根据AC边长20可得知，P1C的长度为10，此时在P1C长度范围内，ΔPCQ的面积，SΔPCQ=12(x)(2x)=x2。2.当Q位于Q1点和Q2点之间，P位于P1点和B点之间时，ΔPCQ的底边为x−15，高度为竖向蓝色边t，根据三角函数性质，20−t2x−20=2025，t=−85x+36，SΔPCQ=12(36−85x)x=−45x2+18x，3.当Q位于Q2点和B点之间，P位于Q2点和B之间时，ΔPCQ的底边为25−(x−15)−(2x−20)=60−3x，高度为斜向蓝色边t，根据勾股定理，t15=2025，得t=12，SΔPCQ=12(60−3x)12=−18x+360。当x=20时，点P和点Q相遇。得出y={x2，0<x<10，−45x2+18x，10≤x≤15，−18x+360，15<x<20\begin{aligned} &\ \ 三角形的面积变化分为三种情况：\\\\ &\ \ 1. 当P位于P1点和C点之间，Q位于Q1点和C点之间时，因为点Q的移动速度是点P的2倍，\\\\ &\ \ 所以Q1点位于A点位置，根据AC边长20可得知，P1C的长度为10，此时在P1C长度范围内，\\\\ &\ \ \Delta PCQ的面积，S_{\Delta PCQ}=\frac{1}{2}(x)(2x)=x^2。\\\\ &\ \ 2. 当Q位于Q1点和Q2点之间，P位于P1点和B点之间时，\Delta PCQ的底边为x-15，高度为竖向蓝色边t，\\\\ &\ \ 根据三角函数性质，\frac{20-t}{2x-20}=\frac{20}{25}，t=-\frac{8}{5}x+36，S_{\Delta PCQ}=\frac{1}{2}(36-\frac{8}{5}x)x=-\frac{4}{5}x^2+18x，\\\\ &\ \ 3. 当Q位于Q2点和B点之间，P位于Q2点和B之间时，\Delta PCQ的底边为25-(x-15)-(2x-20)=60-3x，\\\\ &\ \ 高度为斜向蓝色边t，根据勾股定理，\frac{t}{15}=\frac{20}{25}，得t=12，S_{\Delta PCQ}=\frac{1}{2}(60-3x)\ 12=-18x+360。\\\\ &\ \ 当x=20时，点P和点Q相遇。\\\\ &\ \ 得出\\\\ &\ \ y=\begin{cases}\ \ \ \ x^2，\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \lt x \lt 10，\\\\-\frac{4}{5}x^2+18x，10 \le x \le 15，\\\\-18x+360，\ \ \ 15 \lt x \lt 20\end{cases} & \end{aligned} 三角形的面积变化分为三种情况： 1.当P位于P1点和C点之间，Q位于Q1点和C点之间时，因为点Q的移动速度是点P的2倍，所以Q1点位于A点位置，根据AC边长20可得知，P1C的长度为10，此时在P1C长度范围内， ΔPCQ的面积，SΔPCQ=21(x)(2x)=x2。 2.当Q位于Q1点和Q2点之间，P位于P1点和B点之间时，ΔPCQ的底边为x−15，高度为竖向蓝色边t，根据三角函数性质，2x−2020−t=2520，t=−58x+36，SΔPCQ=21(36−58x)x=−54x2+18x， 3.当Q位于Q2点和B点之间，P位于Q2点和B之间时，ΔPCQ的底边为25−(x−15)−(2x−20)=60−3x，高度为斜向蓝色边t，根据勾股定理，15t=2520，得t=12，SΔPCQ=21(60−3x) 12=−18x+360。当x=20时，点P和点Q相遇。得出 y=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ x2， 0<x<10，−54x2+18x，10≤x≤15，−18x+360， 15<x<20

18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口。\begin{aligned}&18. \ 利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口。\end{aligned}18. 利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测2020年的世界人口。

年份	人口数/百万	年增长率/%
2008	6708.2	1.166
2009	6786.4	1.140
2010	6863.8	1.121
2011	6940.7	1.107
2012	7017.5	1.107
2013	7095.2

解：

根据年增长率判断，世界人口增长率维持在1.1%，根据2018年人口推算2020年人口，6708.2×(1+1.011)12≈7649.27≈76亿\begin{aligned} &\ \ 根据年增长率判断，世界人口增长率维持在1.1\%，根据2018年人口推算2020年人口，\\\\ &\ \ 6708.2\times (1+1.011)^{12} \approx 7649.27\approx 76亿 & \end{aligned} 根据年增长率判断，世界人口增长率维持在1.1%，根据2018年人口推算2020年人口， 6708.2×(1+1.011)12≈7649.27≈76亿