2021.11.07
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参考文献
[1]罗庚兴.浅谈用PLC改造继电器控制系统的方法.煤矿机械,2006,27(7):159-161.
[2]清华大学电子学教研组. 数字电子技术基础简明教程[M]. 第三版. 北京:高等教育出版社, 2006.

1逻辑代数

在提到一般教科书都会记载，但实际上较少使用的逻辑设计法之前，有必要先回顾一下贯穿整本数电课本的逻辑代数（Logic
Algebra）这一知识点。

逻辑代数，或称布尔代数（Bool Algebra），是按一定的逻辑关系进行运算的代数，其基本逻辑运算有与（AND)、或(OR)、非(NOT)。

与运算: Y=A⋅BY=A·BY=A⋅B
或运算: Y=A+BY=A+BY=A+B
非运算: Y=A‾Y=\overline{A}Y=A

在逻辑代数中，使用英文字母表示变量，称为逻辑变量，其取值为0或1；上式1-3被称为逻辑表达式，式中A、B称为输入逻辑变量，Y称为输出逻辑变量；字母上面无反号的称为原变量，有反号的称为反变量。
当Y=F(A,B,…)时，称Y是A、B、…的逻辑函数。
逻辑函数在各个变量之间存在互相制约关系，则称之为约束，该逻辑函数称为有约束的逻辑函数，这些变量称为一组有约束的变量。

2 PLC的逻辑设计法

2.1电路->逻辑代数

逻辑代数是分析和综合开关电路的重要数学工具，因此又称为开关代数。

下图所示的三类电路，可用于反应与、或、非三种基本逻辑关系：

根据继电器电路图推导逻辑函数表达式，遵循原则见下：

电器开关的逻辑函数以线圈作为输出逻辑变量，以触点作为输入逻辑变量；
线圈得电为 “1”，线圈断电为“0“；
常开触点用原变量表示，常闭触点用反变量表示；触点动作为“1”，不动作为“0”；
时间继电器的线圈与其延时动作触点的逻辑状态不一致，并且时间继电器的触点有4种状态(延时断开、延时闭合、瞬动断开、瞬动闭合)，需要作特殊处理。

PLC梯形图（称作继电器梯形图）程序编程原理与开关电路设计原理相同，因此方法相同，可以参照前文方法来设计程序。

以使用继电器为核心的起保停电路为例：

扩展到一般对象，其逻辑代数表示为：
Fk=（X开+K）⋅X‾关F_k=（X_开+K）·\overline{X}_关Fk=（X开+K）⋅X关

X开X_开X开——控制对象开启信号
X关X_关X关——控制对象关断信号
KKK——输出对象的常开触点

在实际应用中，X开X_开X开和X关X_关X关会带有约束条件，防止启停信号误动作的影响，保障系统可靠性：

其逻辑函数为：
Fk=（X开⋅X开约+K）⋅（X‾关+X‾关约F_k=（X_开·X_{开约}+K）·（\overline{X}_关+\overline{X}_{关约}Fk=（X开⋅X开约+K）⋅（X关+X关约）

2.2逻辑代数->梯形图

对于PLC梯形图编程，在没有约束条件下，典型输出控制对象的基本逻辑函数可表示为：
Fk=（X开+K）⋅X‾关F_k=（X_开+K）·\overline{X}_关Fk=（X开+K）⋅X关
X开X_开X开——启动条件
X‾关\overline{X}_关X关——关断条件
KKK——控制对象的当前状态
FKF_KFK——控制对象的下一个状态值

其对应程序如下：

约束条件下，典型输出控制对象的基本逻辑函数可表示为：
Fk=（X开⋅X开约+K）⋅（X‾关+X‾关约）F_k=（X_开·X_{开约}+K）·（\overline{X}_关+\overline{X}_{关约}）Fk=（X开⋅X开约+K）⋅（X关+X关约）

其对应的PLC程序如下：

逻辑设计法的基本使用方法即为：把各种已知信号带入上式中，写出控制对象的逻辑函数，再根据逻辑函数，结合一般设计原则，编写PLC程序。

3实例一则

现在尝试用逻辑设计法解一道题，这是我从网络上搜索到的，不过我学习PLC时也按经验法写过类似的题目。题目和原链接相比有改动，倒不是原题做不来，是我写完了以后发现题目和我写的有差别(￣▽￣)"。

某企业承担了小车往返控制系统的设计任务。要求小车在A、B、C三点之间来回移动（A、B、C三点在一条路线上），一个周期的工作过程为：原位在A点，按下启动按钮后，小车从A点前进至B点，碰到行程开关SQ1后返回至A点，碰到行程开关SQ2后又前进，经过B点不停直接运行到C点，碰到行程开关SQ3返回至A点，完成一个周期后循环。按下停止按钮时，小车即刻停止。

因为牵扯到动作时序，用步进梯形图会容易很多，否则逻辑会比较复杂，但为了体现逻辑代数的优越性，现在我们反其道而行之，并使用逻辑设计法解这道题。

基本逻辑函数见下：
Y前进=(X开+Y前进+XA⋅Y后退下降沿)⋅(XB‾⋅XB约‾+XC‾⋅XC约)⋅X关‾Y_{前进}=(X_开+Y_{前进}+X_A·Y_{后退下降沿})·(\overline {X_B}·\overline {X_{B约}}+\overline {X_C}·X_{C约})·\overline {X_关}Y前进=(X开+Y前进+XA⋅Y后退下降沿)⋅(XB⋅XB约+XC⋅XC约)⋅X关
Y后退=(Y前进下降沿⋅(XB+XC)+Y后退)⋅XA‾⋅X关‾Y_{后退}=(Y_{前进下降沿}·(X_B+X_C)+Y_{后退})·\overline {X_A}·\overline {X_关}Y后退=(Y前进下降沿⋅(XB+XC)+Y后退)⋅XA⋅X关

上述逻辑函数的格式为启动条件⋅完成条件⋅停止条件启动条件·完成条件·停止条件启动条件⋅完成条件⋅停止条件
为了防止同时输出前进和后退信号，加入了XB约束条件XB约X_{B约}XB约和XC约束条件XC约X_{C约}XC约，XB约X_{B约}XB约为真的条件是本循环已抵达B点；XC约X_{C约}XC约为真的条件是本循环已抵达A点和B点；循环结束后会对约束条件进行复位。

将逻辑函数改写为梯形图，见下：

4利用逻辑表达式实现梯形图程序对数字电路的模拟

4.1对1位数值比较器的模拟

实际上我们可以根据逻辑表达式来编写梯形图程序，模拟一类数字电路。
例如以1位数值比较器为例，其逻辑表达式为：
Li=AiB‾iL_i=A_i\overline B_iLi=AiBi
Gi=A‾iB‾i+AiBiG_i=\overline A_i\overline B_i+A_iB_iGi=AiBi+AiBi
Mi=A‾iBiM_i=\overline A_i B_iMi=AiBi
根据上述逻辑表达式可编写如下梯形图程序：

其真值表如下：

AiA_iAi	BiB_iBi	LiL_iLi	GiG_iGi	MiM_iMi
0	0	0	1	0
0	1	0	0	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	0

同1位数值比较器的真值表一致。

4.2从数字电路演化到功能块

实际上梯形图中的一些功能块即是数字电路的程序化体现，例如RS触发器（复位/置位触发器）：

在数字电路中，触发器是用于接收、保存和输出二进制数字信号和两状态逻辑信号的单元单路，其重要概念有现态和次态。

现态：触发器接收输入信号之前的状态，用QnQ^nQn表示。
次态：触发器接收输入信号之后的状态，用Qn+1Q^{n+1}Qn+1表示。次态既取决于输入信号，也取决于现态（保持特性）。

用或非门组成的基本RS触发器逻辑符号和逻辑电路图见下：

RRR、SSS是信号输入端，表示低电平有效
QQQ、Q‾\overline{Q}Q是两个互补的信号输出端，表示触发器状态

当电路无输入信号（RRR=SSS=1）时，有两个状态：
0状态：QQQ=0、Q‾\overline{Q}Q=1
1状态：QQQ=1、Q‾\overline{Q}Q=0

当RRR=1、SSS=0时，触发器将变成1状态，因此习惯上把SSS端称为置位端；
当RRR=0、SSS=1时，触发器将变成0状态，因此习惯上把RRR端称为复位端；
不允许RRR=SSS=1，此即为约束条件。

特性方程用于描述基本RS触发器次态输出Qn+1Q^{n+1}Qn+1与现态QnQ^{n}Qn和输入RRR、SSS之间的函数关系。
RS基本触发器的特性方程为：
{Qn+1=S+R‾⋅QnRS=0约束条件\begin{cases} Q^{n+1}=S+\overline{R}·Q^{n}\\ RS=0~~~~~~~约束条件 \end{cases}{Qn+1=S+R⋅QnRS=0 约束条件

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