信息学奥赛一本通 1229：电池的寿命 | OpenJudge NOI 4.6 2469:电池的寿命

【题目链接】

ybt 1229：电池的寿命
OpenJudge NOI 4.6 2469:电池的寿命

【题目考点】

1. 贪心

【解题思路】

1. 贪心选择性质的证明

电池分配主要有两步，
第一步：将电池分为两组，使两组电池的总使用时长的差值尽可能小。
第二步：如果总时长更长的分组中有多于1个电池，那么取出这一组中的一些电池运行游戏机，消耗其中一些电池的电量，使得两组电池的使用时长相等。
第三步：两组电池分别装在游戏机的两个电池位置上，运行游戏机。

已知有n个电池，将其电池分为两组，第1组时长加和为aaa，第2组时长加和为bbb。
不失一般性，假设最后第1组使用时长大于等于第二组，即a≥ba\ge ba≥b。其差值d=a−bd = a-bd=a−b。
定义消耗操作：在某一组电池中取出一对电池使用，游戏机运行m2\frac{m}{2}2m时长，共消耗电池使用时长mmm。

贪心选择：按使用时长从大到小选择电池，将其加入电池使用时长加和更小的分组中。
在所有电池都分配结束后

如果使用时长更长的第1组中只有1个电池，其它所有电池都在第2组。那么这也就是最优的方案了，此时游戏机可以运行的时长为bbb，即为电池中除了使用时长最长的电池，其余电池使用时长的加和。
只要第1组中的电池数量大于1，那么一定可以通过1次消耗操作让第1组的电池消耗掉使用时长ddd，进而让两组电池的使用时长加和相同。
证明：

在第1组最后一节电池加入时，一定是第1组的使用时长加和a1a_1a1小于等于第2组的加和b1b_1b1，即a1≤b1a_1\le b_1a1≤b1。而后第1组加入最后一节电池，其时长为aea_eae，此时第1组电池使用时长a=a1+aea = a_1+a_ea=a1+ae，其后第2组加入了0节或多节电池，这些电池的总时长为beb_ebe，最后第2组电池的使用时长b=b1+beb = b_1 + b_eb=b1+be
那么两组电池使用时长的差值d=a−b=a1+ae−b1−be=ae−(b1−a1)−bed = a - b = a_1+a_e - b_1 - b_e = a_e - (b_1-a_1) - b_ed=a−b=a1+ae−b1−be=ae−(b1−a1)−be，由于b1−a1≥0b_1-a_1\ge 0b1−a1≥0且be≥0b_e \ge 0be≥0，所以d≤aed \le a_ed≤ae。
由于第1组中不只有1节电池，根据贪心选择，其中已经存在的电池的时长一定大于等于后面加入的电池的时长。所以第1组中除了最后一节电池，一定存在时长为ama_mam的某电池满足am≥aea_m \ge a_eam≥ae，取出这两节电池放入游戏机中运行，运行时长d2\frac{d}{2}2d，共消耗时长ddd。由于d2≤d≤ae≤am\frac{d}{2} \le d \le a_e \le a_m2d≤d≤ae≤am，所以一定可以做到运行这么久。
此时第1组电池的剩余总运行时长为a−d=ba - d = ba−d=b，与第2组电池的总运行时长相同。分别取第1组和第2组的电池放在游戏机的两个电池空位上，运行游戏机，还可以运行bbb时长。

这种方案下，电池电量没有一点浪费，游戏机可以运行的总时长为所有电池可以使用的总时长除以2。

2. 具体做法

将输入的数据存入数组，求其中的最大值及所有数的总和。总和减最大值为剩余数字和。
如果最大值大于等于剩余数字和，那么结果为剩余数字和。否则，输出总和除以2。

【题解代码】

解法1：贪心

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int main()
{double a, ans;int n;while(cin >> n){double mx = 0, sum = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a;mx = max(mx, a);sum += a;}if(sum - mx < mx)ans = sum - mx;elseans = sum / 2;cout << fixed << setprecision(1) << ans << endl;}       return 0;
}

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