信息学奥赛一本通 1173：阶乘和 | OpenJudge NOI 1.6 15 | 洛谷 P1009 [NOIP1998 普及组] 阶乘之和

【题目链接】

ybt 1173：阶乘和
注：一本通上这题，应该把n≤50n\le50n≤50当做n≤100n\le100n≤100来看
OpenJudge NOI 1.6 15:阶乘和
洛谷 P1009 [NOIP1998 普及组] 阶乘之和

【题目考点】

1. 高精度

考察：高精乘低精高精加高精
高精度计算讲解

【解题思路】

相应的低精度数字求阶乘和的解法如下：
ybt 1091：求阶乘的和
采用其中复杂度为O(n)O(n)O(n)的迭代法，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n;cin >> n;int s = 0, a = 1;//a：某一阶乘项的值 for(int i = 1; i <= n; ++i){a *= i;//本句运行结束后，a的值为i! s += a;//加和变量中增加i! }cout << s;return 0;
}

在本问题中，s与a应该是高精度数字，i，n是低精度数字。a*=i为高精乘低精，s+=a为高精加高精。
该题难点在于分析结果位数，为数字数组设一个合理的数组长度。（比如不知道结果位数，就设了数组长为10000，那你凭什么认为结果一定小于10000位？总得有点根据吧。）
求数字位数公式：假设数字x有n位，那么n=⌊lgx⌋+1n = \lfloor lgx \rfloor + 1n=⌊lgx⌋+1
假设n=50，求1!+2!+...+50!1!+2!+...+50!1!+2!+...+50!的位数，我们可以不断将结果放大
1!+2!+...+50!≤50∗50!≤50∗5050=50511!+2!+...+50! \le 50*50! \le 50*50^{50}=50^{51}1!+2!+...+50!≤50∗50!≤50∗5050=5051
求505150^{51}5051的位数：⌊lg5051⌋+1=⌊51∗lg50⌋+1≤⌊51∗lg100⌋+1=103\lfloor lg50^{51} \rfloor + 1 = \lfloor 51*lg50 \rfloor + 1 \le \lfloor 51*lg100 \rfloor + 1 = 103⌊lg5051⌋+1=⌊51∗lg50⌋+1≤⌊51∗lg100⌋+1=103
将数字数组长度设为105就可以满足要求。
【注】一本通OJ上本题测试数据有误，需要将数字数组长度设为155才能过（我只试到155能过），否则有几个测试点会报“运行错误”。所以可以当这道题中给定的n≤50n\le50n≤50当做n≤100n\le100n≤100来看，这样推算出的数据位数就没有问题了。

【题解代码】

解法1：使用函数与数组

本解法中，使用的高精度运算为 a*=b和a+=b。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 155//一本通OJ上必须设为155才能过 洛谷、OpenJudge上设到105就能过
void Multiply(int a[], int b)//高精乘低精 a *= b
{int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;
}
void Add(int a[], int b[])//高精加高精 a += b
{int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0] || i <= b[0]; ++i){a[i] += b[i] + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10;}if(c > 0)a[i] = c;while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;
}
void showNum(int a[])
{for(int i = a[0]; i >= 1; --i)cout << a[i];
}
int main()
{int a[N] = {1, 1}, s[N] = {1, 0}, n;//数字a初值为1 加和s初值为0 cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){Multiply(a, i);Add(s, a);}showNum(s);return 0;
}

解法2：类中重载运算符

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 155
struct HPN
{int a[N];HPN(){memset(a, 0, sizeof(a));}HPN(char s[]){memset(a, 0, sizeof(a));a[0] = strlen(s);for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)a[i] = s[a[0] - i] - '0';}int& operator [] (int i){return a[i];}void setLen(int i)//确定数字位数{while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;}void operator *= (int b)//a *= b{int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}setLen(i); }void operator += (HPN b)//高精加高精{int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0] || i <= b[0]; ++i){a[i] += b[i] + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10;}a[i] = c;setLen(i);}void show(){for(int i = a[0]; i >= 1; --i)cout << a[i];}
};
int main()
{int n;cin >> n;HPN s("0"), a("1");//s = 0, a = 1 for(int i = 1; i <= n; ++i){a *= i;//高精乘低精s += a;//高精加高精}s.show();return 0;
}