leetcode - 96. 不同的二叉搜索树

96. 不同的二叉搜索树

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给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees
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这里首先说一下什么是二叉搜索树，二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；它的左、右子树也分别为二叉排序树。
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1、动态规划

给定一个有序序列 1 … n，为了根据序列构建一棵二叉搜索树。我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，1 … (i-1) 序列将成为左子树，(i+1) … n 序列将成为右子树。于是，我们可以递归地从子序列构建子树。在上述方法中，由于根各自不同，每棵二叉树都保证是独特的。

可见，问题可以分解成规模较小的子问题。因此，我们可以存储并复用子问题的解，而不是递归的（也重复的）解决这些子问题，这就是动态规划法。

题目问题是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：
G(n): 长度为n的序列的不同二叉搜索树个数。
F(i, n): 以i为根的不同二叉搜索树个数(1≤i≤n)。

可见，G(n)G(n) 是我们解决问题需要的函数。稍后我们将看到，G(n)G(n) 可以从 F(i, n)F(i,n) 得到，而 F(i, n)F(i,n) 又会递归的依赖于 G(n)G(n)。

首先，根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数 G(n)G(n)，是对遍历所有 i (1 <= i <= n) 的 F(i, n)F(i,n) 之和。换而言之：

特别的，对于边界情况，当序列长度为 1 （只有根）或为 0 （空树）时，只有一种情况。亦即：

给定序列 1 … n，我们选出数字 i 作为根，则对于根 i 的不同二叉搜索树数量 F(i, n)F(i,n)，是左右子树个数的笛卡尔积，如下图所示:

举例而言，F(3, 7)F(3,7)，以 3 为根的不同二叉搜索树个数。为了以 3 为根从序列 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 构建二叉搜索树，我们需要从左子序列 [1, 2] 构建左子树，从右子序列 [4, 5, 6, 7] 构建右子树，然后将它们组合(即笛卡尔积)。巧妙之处在于，我们可以将 [1,2] 构建不同左子树的数量表示为 G(2)G(2), 从 [4, 5, 6, 7]` 构建不同右子树的数量表示为 G(4)G(4)。这是由于 G(n)G(n) 和序列的内容无关，只和序列的长度有关。于是，F(3,7) = G(2) \cdot G(4)F(3,7)=G(2)⋅G(4)。概括而言，我们可以得到以下公式：

将公式 (1)，(2) 结合，可以得到 G(n)G(n) 的递归表达公式：

为了计算函数结果，我们从小到大计算，因为 G(n)G(n) 的值依赖于 G(0) … G(n-1)G(0)…G(n−1)。

根据以上的分析和公式，很容易实现计算 G(n)G(n) 的算法。

作者：LeetCode
链接：https://leetcode-cn.com/problems/two-sum/solution/bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-by-leetcode/
来源：力扣（LeetCode）
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以上算法原理的C++代码如下：

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> num(n+1,0);num[0]=1;num[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){num[i]=num[j-1]*num[i-j] + num[i];}}return num[n];}
};

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