漫步数学分析二——欧几里得空间

定义3\textbf{定义3} 欧几里得n−n-空间是由所有有序的nn 元实数组成的并且用RnR^n来表示。象征性的符号为

Rn={(x1,…,xn)|x1,…,xn∈R}

R^n=\{(x_1,\ldots,x_n)|x_1,\ldots,x_n\in R\}

因此RnR^n是RR与自身进行nn次笛卡尔乘积的结果，可以写成Rn=R×⋯×RR^n=R\times\cdots\times R。

RnR^n的元素通常用单个字母来表示，即x=(x1,…,xn)x=(x_1,\ldots,x_n)，并且称xx是RnR^n中的一个点。

加法和标量乘法用通常的方式进行定义：

(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)

(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)

乘法为

α(x1,…,xn)=(αx1,…,αxn)for α∈R

\alpha(x_1,\ldots,x_n)=(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n)\quad\text{for}\ \alpha\in R

这些运算的几何意义如图???\ref{fig:1-3}所示，该图是三空间的情况即n=3n=3。

图1：加法和标量乘法

定理4\textbf{定理4} 满足加法与标量乘法的欧几里得n−n-空间是一个nn为向量空间。

证明的方法就是直接检查是否满足向量空间的公理，这里不再讨论。这个定理在我们的意料之中，毕竟向量空间是欧几里得空间中向量基本性质的抽象，接下来我们就能通过展示RnR^n 有nn个向量的基来说明它的维数是nn，例如，标准基{e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,…,0,1)}\{e_1=(1,0,\ldots,0),e_2=(0,1,0,\ldots,0),\ldots,e_n=(0,0,\ldots,0,1)\}。

在标准基中，x=(x1,…,xn)x=(x_1,\ldots,x_n)的元素就是x1,…,xnx_1,\ldots,x_n，而对于RnR^n的其他基，这些元素将是不同的，这就意味着如果用e1,…,ene_1,\ldots,e_n来表示标准基，那么x=Σni=1xieix=\Sigma_{i=1}^n x_ie_i，但是如果f1,…,fnf_1,\ldots,f_n 是另一组基，那么x=Σni=1yifix=\Sigma_{i=1}^ny_if_i中的y1,…,yny_1,\ldots,y_n是不同的值。

下面是RnR^n中的一些基本运算。

定义4\textbf{定义4} RnR^n中向量xx的长度(length)或范数(norm)定义为

∥x∥=(∑i=1nx2i)1/2

\Vert x\Vert=\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^{1/2}

其中x=(x1,…,xn)x=(x_1,\ldots,x_n)，两个向量x,yx,y之间的距离(distance) 是一个实数并定义如下

d(x,y)=∥x−y∥={∑i=1n(xi−yi)2}1/2

d(x,y)=\Vert x-y\Vert=\left\{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\right\}^{1/2}

x,yx,y的内积(inner product)定义为

⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi

\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_iy_i

因此我们有∥x∥2=⟨x,x⟩\Vert x\Vert^2=\langle x,x\rangle。对于R3R^3空间，读者对⟨x,y⟩\langle x,y\rangle 比较熟悉，即⟨x,y⟩=∥x∥∥y∥cosθ\langle x,y\rangle=\Vert x\Vert\Vert y\Vert\cos\theta，其中θ\theta是x,yx,y夹角的余弦值，如图???\ref{fig:1-4}所示。

现在我们总结一下这些运算的基本性质：

定理5\textbf{定理5} 对于RnR^n中的向量，我们有
(I)\textrm(I)内积的性质

⟨x,y1+y2⟩=⟨x,y1⟩+⟨x,y2⟩\langle x,y_1+y_2\rangle=\langle x,y_1\rangle+\langle x,y_2\rangle
对于每个实数α,⟨x,αy⟩=α⟨x,y⟩\alpha,\langle x,\alpha y\rangle=\alpha\langle x,y\rangle
⟨x,y⟩=⟨y,x⟩\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle
⟨x,x⟩≥0\langle x,x\rangle\geq0，当且仅当x=0x=0时⟨x,x⟩=0\langle x,x\rangle=0
|⟨x,y⟩≤∥x∥∥y∥||\langle x,y\rangle\leq\Vert x\Vert\Vert y\Vert|(柯西施瓦兹不等式(Cauchy-Schwarz inequality))。
注意：(v)\textrm{(v)}可从(i)-(iv)\textrm{(i)-(iv)}推出。

(II)\textrm(II)范数的性质

∥x∥≥0\Vert x\Vert\geq0
∥x∥=0\Vert x\Vert=0当且仅当x=0x=0
对于每个实数α,∥αx∥=|α|∥x∥\alpha,\Vert\alpha x\Vert=|\alpha|\Vert x\Vert
∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\Vert x+y\Vert\leq\Vert x\Vert+\Vert y\Vert(三角不等式(triangle inequality))

(III)\textrm(III)距离的性质
1.d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)
2.d(x,y)≥0d(x,y)\geq0
3.d(x,y)=0d(x,y)=0当且仅当x=yx=y
4.d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)(也称为三角不等式)

图2：长度和内积

这些性质都要非常明显的几何意义，例如 (II)(III)\textrm{(II)(III)}中的 (iv)\textrm{(iv)}表达的就是三角形的一边长小于或等于其他两边长的和(图 ???\ref{fig:1-5})。

对于一个集合，如果其中的函数dd满足规则(III)\textrm{(III)}，那么称该集合为度量空间；对于一个向量空间，如果其中的范数满足规则(II)\textrm{(II)}，那么称该空间为范数空间；对于一个向量空间，如果其中的内积满足规则(I)\textrm{(I)}，那么称该空间为内积空间。

我们回忆一下线性代数中线性子空间的符号，特别地，RnR^n 中(n−1)(n-1)维线性子空间称为超平面。仿射超平面就是集合x+Hx+H，其中HH是一个超平面且x∈Rnx\in R^n；x+Hx+H意味着所以x+yx+y组成的集合，其中yy取HH上的值；因此x+H={x+y|y∈H}x+H=\{x+y|y\in H\}，如图???\ref{fig:1-6}所示。

最后我们推广一下R3R^3中的概念，我们称x,y∈Rnx,y\in R^n是正交的(orthogonal)当且仅当⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0。两个子空间S,TS,T是正交的，当且仅当对于所以的x∈S,y∈T,⟨x,y⟩=0x\in S,y\in T,\langle x,y\rangle=0。进一步来讲，如果S,TS,T生成RnR^n，那么称他们是正交补(orthogonal complements)，当且仅当S,TS,T是正交的且他们的维数和为nn时他们才会是正交补。我们定义S⊥={y∈Rn|⟨x,y⟩=0 for all x∈S}S^{\perp}=\{y\in R^n|\langle x,y\rangle=0\ \text{for all}\ x\in S\}，那么不难看出S,S⊥S,S^{\perp}是正交补。除了一些线性代数的基本概念外，我们不需要太多线性代数知识，所以我们不在进行进一步的讨论。

图3：三角不等式

例1：\textbf{例1：}求出连接点(1,1,1)到(3,2,0)线段的长度。

解：\textbf{解：}这个长度就是向量(3,2,0)−(1,1,1)=(2,1,−1)(3,2,0)-(1,1,1)=(2,1,-1)的长度，其长度为

∥(2,1,−1)∥=22+12+(−1)2−−−−−−−−−−−−√=6√

\Vert(2,1,-1)\Vert=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt6

图4：超平面和仿射超平面

图5：正交补

例2：\textbf{例2：}在 R3R^3中，找出直线 x=y=z/2x=y=z/2的正交补(或者其他符号表示为 x1=x2=x3/2x_1=x_2=x_3/2)。

解：\textbf{解：}我们称这条直线为ll，它是由向量(1,1,2) 生成的一维子空间(图???\ref{fig:1-7})，正交补是一个平面(因为是一个子空间所以过原点)，所以有如下的形式

Ax+By+Cz=0

即

⟨(A,B,C),(x,y,z)⟩=0

\langle(A,B,C),(x,y,z)\rangle=0

其中(A,B,C)是平面的法向量；但是(1,1,2)是与该平面垂直所以正交补是平面

x+y+2z=0

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