1.问题分析

要想解决最大团问题，也就是求最大完全子图。我们需要了解相关概念，现在有如下图：

（1）完全子图：

给定无向图G=（V，E），其中V是顶点集，E是边集。G'=（V'，E'）如果顶点集V'∈V，E'∈E，且G'种任意两个点有边相连，则称G'是G的完全子图。例如下面的几个图都是上图的完全子图：

（2）团：

G的完全子图是G的团，当且仅当G'不包含在G的更大的完全子图中，也就是说G'是G的极大完全子图。比如图中（c），（d）是G的团，而（a）（b）不是G的团，因为他们包含在G的更大的完全子图（c）中。

（3）最大团：

G的最大团是指G的所有团中，含顶点数最大的团，比如说（d）就是最大团。

2.算法设计

（1）约束条件：

最大团问题的解空间包含2^n个子集，这些子集存在集合中的某两个结点没边相连的情况。显然这种情况的可能姐不是问题的可行解，故需要设置约束条件来判断是否有情况可能导致问题的可行解。

假设现在扩展结点到t层，那么1~t-1个结点状态（是否已经在团里）已经确定。接下来沿着扩展点左分支进行扩展，此时需要判断是否将 t结点放进团里。则判断 t结点和1~t-1 个结点中被选中的结点是否有相连，相连就放进团里，x[t]=1，否则不放进团里，x[t]=0.如图所示：

（2）限界条件（剪枝函数）：

假设当前的扩展结点为z，如果z处于第t层，前面1~t-1 层的结点的状态已经确定了。接下来确定t结点的状态。前t个结点状态确定当前已放团内的结点个数（用cn表示），假设t+1 ~ n 的所有结点都放进团，用fn表示，且fn=n-t ，则cn+fn是所有从根出发的路径中经过中间结点z的可行解所包含结点个数的上界。

如果fn+cn小于等于当前最优解bestn，则说明不再需要从中间结点z继续像子孙结点搜索。因此，限界条件可以描述为：cn+fn>bestn。

（3）搜索过程：

从根节点开始，以深度游戏按的方式进行。每次搜索到一个结点，判断约束条件，看是否可以将当前结点加入到团中。如果可以，则沿着当前结点左分支继续向下搜索，如果不可以，判断戒指函数，如果满足则沿着当前结点的右分支继续向下搜索。

3.源代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=111; //设置矩阵的大小
int graph[N][N]; //用邻接矩阵存储图
bool x[N]; //是否将i个顶点加入团中
bool bestx[N]; //记录最优已经放入团中的顶点
int bestn; //记录最优值
int cn; //已经放入团中的结点数
int n;//顶点个数
int m; //边的个数bool place(int t) //判断是否能放进团中
{bool OK =true;for (int j=1;j<t;j++)  //判断目前扩展的t顶点和前面t-1个顶点是否相连。{if(x[j] && graph[t][j]==0) //如果不相连{OK=false; //返回falsebreak;}}return OK; //如果相连。返回true
}void backtrack(int t) //回溯，递推
{if(t>n) //当到达叶子结点{for(int i=1;i<=n;i++){bestx[i]=x[i]; //记录最优值结点号}bestn=cn; //记录最优值return;}if(place(t)) //如果能放进团中{x[t]=1;//标为1cn++; //个数+1backtrack(t+1); //向下递推cn--; //向上回溯}if(cn+n-t>bestn) //限界条件，进入右子树，不能加入团中。{x[t]=0; //不能放入团中，标为0backtrack(t+1); //向下递推。}
}int main()
{int u; //结点1int v; //结点2cout << "请输入结点的个数n；"<< endl;cin >> n;cout << "请输入边数m："<< endl;cin >>m;memset(graph,0,sizeof(graph));cout <<"请输入有边相连的两个顶点u和v："<< endl;for (int i=1;i<=m;i++){cin >> u>> v;graph[u][v]=1;graph[v][u]=1;}bestn=0;cn=0;backtrack(1);cout << "最大团的结点个数有："<< bestn << endl;cout << "结点有："<< endl;for (int i=1;i<=n;i++){if(bestx[i]){cout << i << "  "; //输出的是结点号}}return 0;
}

4.测试结果

回溯、图论——最大团问题（求最大完全子图）相关推荐

回溯法——最大团问题
回溯法--最大团问题问题: 给定无向图G=(V,E).如果U∈V,且对任意u,v∈U有(u,v)∈E,则称U是G的完全子图. G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中. G的最大 ...
回溯法--最大团（部队护卫队问题）
package com.duoduo.day316; /*** 回溯法--最大团问题* 问题描述:为组织一支队伍,希望选出最多的居民加入队伍中,并保证其中任意两人均不是仇敌,给定仇敌关系图,计算构建护 ...
图论 —— 最大团问题
[问题描述] 当 G′ 是图 G 的子图,且 G′ 是关于 V′ 的完全图时,子图 G' 为图 G 的团:当 G' 是团,且不是其他团的子集时,G' 为图 G 的极大团:当 G' 是极大团时,且点数最 ...
图论——最大团问题和最大独立集、二分图相关
文章目录最大团问题和最大独立集二分图.用网络流解决最大二分匹配的方法一种另类的增广路--交替路.匈牙利算法一般图.二分图中的其它性质 P1640 [SCOI2010]连续攻击游戏最大团问题和 ...
c语言实现判断两个子图是否同构问题_经典问题-回溯法-最大团问题
1. 知识点注:用回溯法实现最大团问题和用回溯法实现装载问题,解决方案和复杂度是类似的.如果你对回溯法或者子集树问题,并不了解,可以参看一下这篇文章,里面补充了回溯法和子集树的概念. 装载问题-回溯 ...
图论最大团,最大独立集
经典的NP完全问题,只有暴力解,时间复杂度O(n2^n) 对于无向图来说所谓最大团, 其实就是找一个最大完全子图,最大就是包含的点最多. 而最大独立集 == 补图的最大团这里使用深度优先搜索实现, ...
图论 —— 网络流 —— 最小割 —— 最大权闭合子图
[概述] 给出一个有向图,每一个点都有一个权值,现在要选择一个权值和最大的子图,使得每个点的后继都在子图中,这个子图就称为最大权闭合子图. 如上图,能选的子图有:Ø.{1,2,3,4,5,6}.{3, ...
【UOJ168】元旦老人与丛林【图论证明】【最大权闭合子图】【dinic动态推流】
题意:给一张无向图,判断能否分成两个生成森林. n≤2×103,m≤4×103n\leq 2\times 10^3,m\leq 4\times 10^3n≤2×103,m≤4×103 题目中这样的图称 ...
用回溯法求子集和的c++代码
用回溯算法解决问题的一般步骤为: 一.定义一个解空间,它包含问题的解. 二.利用适于搜索的方法组织解空间. 三.利用深度优先法搜索解空间. 四.利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间. 问题的解空 ...

回溯、图论——最大团问题（求最大完全子图）

1.问题分析

2.算法设计

3.源代码

4.测试结果

回溯、图论——最大团问题（求最大完全子图）相关推荐

最新文章

热门文章