回溯法——最大团问题

问题：

给定无向图G=(V，E)。如果U∈V，且对任意u，v∈U有(u，v)∈E，则称U是G的完全子图。
G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。

完全子图：任意两个顶点相连。团：不存在包含它的更大的完全子图。最大团：顶点数最多的团。

如果U∈V且对任意u，v∈U有(u，v)∉E，则称U是G的空子图。
G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。
G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G=(V，E)，其补图G=(V1，E1)定义为：V1=V，且(u，v)∈E1当且仅当(u，v)∉E。

求原图的最大独立集等价于求补图的最大团。无向图G的最大团和最大独立集问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。如同装载问题。

分析：

与装载问题是类似的，都是1-0子集树。约束函数：每个选了的顶点之间两两相连。限制函数：已经选了的点加上剩下的点大于当前的最优解。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXN 105// 用邻接矩阵来存储图
int m[MAXN][MAXN];// 最优解
int bestGroup = -1;// 结果记录数组
int res[MAXN];// 最终结果数组
int bestRes[MAXN];// 约束函数
bool constrain(int pos){for(int i = 1;i <= pos;i++){if(res[i]){for(int j = 1;j <= pos;j++){if(j == i) continue;if(res[j] && !m[i][j]){return false;}}}}return true;
}// 计算当前解
int sum(int pos){int tmp = 0;for(int i = 1;i <= pos;i++){if(res[i]) tmp++;}return tmp;
}// 限界函数
bool bound(int pos,int n){return sum(pos) + n - pos > bestGroup;
}// 递归求解最大团问题
void maxGroupTraceback(int pos,int n){// 找到了一个最优解if(pos > n){bestGroup = sum(n);for(int i = 0;i <= n;i++)bestRes[i] = res[i];}else{// 左子树res[pos] = 1;if(constrain(pos)){maxGroupTraceback(pos+1, n);res[pos] = 0;}res[pos] = 0;if(bound(pos,n)){maxGroupTraceback(pos+1, n);}}
}int main(){int n = 5;memset(m, 0, sizeof(m));memset(res, 0, sizeof(res));memset(bestRes, 0, sizeof(bestRes));m[1][2] = 1;m[1][4] = 1;m[1][5] = 1;m[2][3] = 1;m[2][5] = 1;m[3][5] = 1;m[4][5] = 1;m[2][1] = 1;m[4][1] = 1;m[5][1] = 1;m[3][2] = 1;m[5][2] = 1;m[5][3] = 1;m[5][4] = 1;maxGroupTraceback(1, n);for(int i = 1;i <= n;i++){if(bestRes[i]) cout<<i<<" ";}cout<<endl<<bestGroup<<endl;
}

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