【问题描述】

当 G′ 是图 G 的子图，且 G′ 是关于 V′ 的完全图时，子图 G' 为图 G 的团；当 G' 是团，且不是其他团的子集时，G' 为图 G 的极大团；当 G' 是极大团时，且点数最多，G' 为图 G 最大团

当 G′ 中所有点不相邻，最大点集最大的图 G′ 为图 G 的最大独立集，且最大独立集数=补图的最大团

当用个数最少的团覆盖图 G 所有的点时，称为最小团覆盖，由于每个团中最多取一个点，因此有最大独立集<=最小团覆盖

简单来说，极大团是增加任一顶点都不再符合定义的团，最大团是图中含顶点数最多的极大团，最大独立集是除去图中的团后的点集，而最大团问题就是在一个无向图中找出一个点数最多的完全图。

对于弦图来说，求最大团一般使用 MCS 算法，而对于一般图来说，常使用 Bron-Kerbosch 算法

关于弦图的最大团：点击这里

【Bron-Kerbosch 算法】

Bron-Kerbosch 算法用于计算图中的最大的全连通分量，即计算图的最大团。

1.算法原理

Bron-Kerbosch 算法的基础形式是一个递归回溯的搜索算法，其通过给定三个集合：R、P、X 来递归的进行搜索

初始化集合 R、X 分别为空，集合 P 为所有顶点的集合
每次从集合 P 中取顶点 {vi}，当集合中没有顶点时，有两种情况：
1）集合 R 是最大团，此时集合 X 为空
2）无最大团，此时回溯
对于每一个从集合 P 中取得的顶点 {vi}，有如下处理：
1）将顶点 {vi} 加到集合 R 中，集合 P、X 与顶点 {vi} 得邻接顶点集合 N{vi} 相交，之后递归集合 R、P、X
2）从集合 P 中删除顶点 {vi}，并将顶点 {vi} 添加到集合 X 中
3）若集合 P、X 都为空，则集合 R 即为最大团

总的来看，就是每次从集合 P 中取 vi 后，再从 P∩N{vi} 集合中取相邻结点，保证集合 R 中任意顶点间都两两相邻

伪代码过程

BronKerbosch1(R,P,X):if P and X are both empty:report R as a maximal cliquefor each vertex v in P:BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))P := P \ {v}X := X ⋃ {v}

2.算法优化

对于基础的算法，由于其递归搜索了所有情况，对其中有些不是最大团的也进行了搜索，效率不高，为了节省时间让算法更快的回溯，可以通过设定关键点来进行搜索。

由于对于任意的最大团，其必须包括顶点 {u} 或 N-N{u}，不然其必然需要通过添加它们来进行扩充，这显然矛盾，所以仅需测试顶点 {u} 以及 N-N{u} 即可。

伪代码过程：

BronKerbosch2(R,P,X):if P and X are both empty:report R as a maximal cliquechoose a pivot vertex u in P ⋃ Xfor each vertex v in P \ N(u):BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))P := P \ {v}X := X ⋃ {v}

由于其是通过选择特殊点，来进行最小化递归调用，一定程度上节省了时间，但还可以与降序的方式结合使用，来保证在线性的时间内求子图的最大团

伪代码过程：

BronKerbosch3(G):P = V(G)R = X = emptyfor each vertex v in a degeneracy ordering of G:BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))P := P \ {v}X := X ⋃ {v}

3.实现

int n,m;
bool G[N][N];
int cnt[N];//cnt[i]为>=i的最大团点数
int group[N];//最大团的点
int vis[N];//记录点的位置
int res;//最大团的数目
bool dfs(int pos,int num){//num为当前独立集中的点数for(int i=pos+1;i<=n;i++){if(cnt[i]+num<=res)//剪枝，若取i但cnt[i]+已经取了的点数仍<ansreturn false;if(G[pos][i]){//与当前团中元素比较，取Non-N(i)int j;for(j=0;j<num;j++)if(!G[i][vis[j]])break;if(j==num){//若为空，则皆与i相邻，则此时将i加入到最大团中vis[num]=i;if(dfs(i,num+1))return true;}}}if(num>res){//每添加一个点最多使最大团数+1,后面的搜索就没有意义了for(int i=0;i<num;i++)//最大团的元素group[i]=vis[i];res=num;//最大团中点的数目return true;}return false;
}
void maxClique(){res=-1;for(int i=n;i>0;i--){//枚举所有点vis[0]=i;dfs(i,1);cnt[i]=res;}
}
int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(G,0,sizeof(G));scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=1;G[y][x]=1;}//建立反图for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)G[i][j]=0;elseG[i][j]^=1;}}maxClique();if(res<0)res=0;printf("%d\n",res);//最大团的个数for(int i=0;i<res;i++)//最大团中的顶点printf("%d ",group[i]);printf("\n");}return 0;
}

【例题】

Maximum Clique（HDU-1530）(模板题)：点击这里
Graph Coloring（POJ-1419）(模板题)：点击这里

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