文章目录

常数项级数的概念和性质
- 一、常数项级数的概念
- 二、收敛级数的基本性质
常数项级数的审敛法
- 一、正项级数及其审敛法
- 二、交错级数及其审敛法
- 三、绝对收敛与条件收敛
- - 性质
幂级数
- 一、幂级数及其收敛性
- - 1. 阿贝尔（Abel）定理
  - 2. 收敛半径的判别方法
- 二、幂级数的运算
展开成幂级数
- 几个重要函数的麦克劳林展开式
傅里叶级数
- 一、函数展开为傅里叶级数
- - 1. 傅里叶级数的定义
  - 2. 狄利克雷收敛定理
- 二、正弦级数和余弦级数
一般周期函数的傅里叶级数

常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

定义：如果级数∑i=1∞ui\sum^\infty_{i=1}u_i∑i=1∞ui的部分和数列sn{s_n}sn有极限sss，即lim⁡n→∞sn=s\lim_{n\to\infty}s_n=slimn→∞sn=s，那么称无穷级数∑i=1∞ui\sum^\infty_{i=1}u_i∑i=1∞ui收敛，这时极限sss叫做这级数的和，并写成s=u1+u2+⋯+ui+⋯s=u_1+u_2+\cdots+u_i+\cdotss=u1+u2+⋯+ui+⋯；如果sn{s_n}sn没有极限，那么称无穷级数∑i=1∞ui\sum^\infty_{i=1}u_i∑i=1∞ui发散

例1：判断无穷级数11⋅2+22⋅3+⋯+nn⋅(n+1)+⋯\frac1{1\cdot2}+\frac2{2\cdot3}+\cdots+\frac n{n\cdot(n+1)}+\cdots1⋅21+2⋅32+⋯+n⋅(n+1)n+⋯的收敛性
un=nn⋅(n+1)=1n−1n+1u_n=\frac n{n\cdot(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}un=n⋅(n+1)n=n1−n+11
故sn=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−11−ns_n=(1-\frac12)+(\frac12-\frac13)+\cdots+(\frac1n-\frac1{n+1})=1-\frac1{1-n}sn=(1−21)+(21−31)+⋯+(n1−n+11)=1−1−n1
lim⁡n→∞sn=lim⁡n→∞(1−11+n)=1\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}(1-\frac1{1+n})=1limn→∞sn=limn→∞(1−1+n1)=1
故级数收敛

二、收敛级数的基本性质

性质1：如果级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un收敛于和sss，那么级数∑n=1∞kun\sum^\infty_{n=1}ku_n∑n=1∞kun也收敛，且其和为ksksks

性质2：如果级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un与∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn分别收敛于sss与σ\sigmaσ，那么级数∑n=1∞(un±vn)\sum^\infty_{n=1}(u_n\pm v_n)∑n=1∞(un±vn)也收敛，且其和为s±σs\pm\sigmas±σ

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性

性质4：如果级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数(u1+⋯+un1)+(un1+1+⋯+un2))+⋯+(unk−1+1+⋯+unk)+⋯(u_1+\cdots+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+\cdots+u_{n_2}))+\cdots+(u_{n_{k-1}+1}+\cdots+u_{n_k})+\cdots(u1+⋯+un1)+(un1+1+⋯+un2))+⋯+(unk−1+1+⋯+unk)+⋯仍收敛，且其和不变。反之不成立

性质5（级数收敛的必要条件）：如果级数∑n=1∞\sum^\infty_{n=1}∑n=1∞收敛，那么它的一般项unu_nun趋于零，即lim⁡n→∞un=0\lim_{n\to\infty}u_n=0limn→∞un=0。反之不成立

常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定理1：正项级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn{s_n}sn有界

ppp级数敛散性，很重要，比较的根源
∑n=1∞1np={收敛p>1发散p≤1\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^p}=\begin{cases}\text{收敛}\quad p>1\\\text{发散}\quad p\leq1\end{cases}∑n=1∞np1={收敛p>1发散p≤1

定理2（比较审敛法）：设∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un和∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn都是正项级数，且un≤vn(n=1,2,⋯)u_n\leq v_n\quad(n=1,2,\cdots)un≤vn(n=1,2,⋯)，若级数∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn收敛，则级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un收敛；反之，若级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un发散，则级数∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn发散

例1：证明级数∑n=1∞1n(n+1)\sum^\infty_{n=1}\frac1{\sqrt{n(n+1)}}∑n=1∞n(n+1)1是发散的
n(n+1)<(n+1)2⇒1n(n+1)>1n+1\sqrt{n(n+1)}<\sqrt{(n+1)^2}\Rightarrow \frac1{\sqrt{n(n+1)}}>\frac1{n+1}n(n+1)<(n+1)2⇒n(n+1)1>n+11
∑n=1∞=12+13+⋯+=∑n=2∞1n\sum^\infty_{n=1}=\frac12+\frac13+\cdots+=\sum^\infty_{n=2}\frac1n∑n=1∞=21+31+⋯+=∑n=2∞n1
∴∑n=1∞1n+1\therefore \sum^\infty_{n=1}\frac1{n+1}∴∑n=1∞n+11发散
由比较审敛法知级数∑n=1∞1n(n+1)\sum^\infty_{n=1}\frac1{\sqrt{n(n+1)}}∑n=1∞n(n+1)1发散

定理3（比较审敛法的极限形式）：设∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un和∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn都是正项级数

如果lim⁡n→∞unvn=l(0≤l<+∞)\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\quad(0\leq l<+\infty)limn→∞vnun=l(0≤l<+∞)，且级数∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn收敛，那么级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un收敛
如果lim⁡n→∞unvn=l>0\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l>0limn→∞vnun=l>0或lim⁡n→∞unvn=+∞\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=+\inftylimn→∞vnun=+∞，且级数∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn发散，那么级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un发散

例2：判定级数∑n=1∞sin⁡1n\sum^\infty_{n=1}\sin\frac1n∑n=1∞sinn1的收敛性
lim⁡n→∞sin⁡1n1n=1\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac1n}{\frac1n}=1limn→∞n1sinn1=1
∵\because∵ 级数∑n=1∞1n\sum^\infty_{n=1}\frac1n∑n=1∞n1发散
∴\therefore∴ 级数∑n=1∞sin⁡1n\sum^\infty_{n=1}\sin\frac1n∑n=1∞sinn1发散

定理4（比值审敛法，达朗贝尔（d’Alembert）判别法）：设∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un为正项级数，如果lim⁡n→∞un+1un=ρ\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rholimn→∞unun+1=ρ，那么当ρ<1\rho<1ρ<1时级数收敛，ρ>1\rho>1ρ>1（或lim⁡n→∞un+1un=∞\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\inftylimn→∞unun+1=∞）时级数发散，ρ=1\rho=1ρ=1时级数可能收敛也可能发散（用定理2、定理3判断）
lim⁡n→∞un+1un=ρ{ρ<1收敛ρ>1发散ρ=1无法判断，用定理2、定理3\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\begin{cases}\rho<1\quad\text{收敛}\\\rho>1\quad\text{发散}\\\rho=1\quad\text{无法判断，用定理2、定理3}\end{cases}limn→∞unun+1=ρ⎩⎨⎧ρ<1收敛ρ>1发散ρ=1无法判断，用定理2、定理3
常用于遇到n!n!n!级数

例3：判断级数110+1⋅2102+1⋅2⋅3103+⋯+n!10n+⋯\frac1{10}+\frac{1\cdot2}{10^2}+\frac{1\cdot2\cdot3}{10^3}+\cdots+\frac{n!}{10^n}+\cdots101+1021⋅2+1031⋅2⋅3+⋯+10nn!+⋯的收敛性
∑n=1∞n!10n\sum^\infty_{n=1}\frac{n!}{10^n}∑n=1∞10nn!
故un=n!10nu_n=\frac{n!}{10^n}un=10nn!
ρ=lim⁡n→∞un+1un=lim⁡n→∞(n+1)=+∞\rho=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=+\inftyρ=limn→∞unun+1=limn→∞(n+1)=+∞
故级数发散

定理5（根值审敛法，柯西判别法）：设∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un为正项级数，如果lim⁡n→∞unn=ρ\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rholimn→∞nun=ρ，那么当ρ<1\rho<1ρ<1时级数收敛，ρ>1\rho>1ρ>1（或lim⁡n→∞unn=+∞\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=+\inftylimn→∞nun=+∞）时级数发散，ρ=1\rho=1ρ=1时级数可能收敛也可能发散
lim⁡n→∞unn=ρ{ρ<1收敛ρ>1发散ρ=1无法判断，用定理2、定理3\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\begin{cases}\rho<1\quad\text{收敛}\\\rho>1\quad\text{发散}\\\rho=1\quad\text{无法判断，用定理2、定理3}\end{cases}limn→∞nun=ρ⎩⎨⎧ρ<1收敛ρ>1发散ρ=1无法判断，用定理2、定理3

例4：判断级数∑n=1∞2+(−1)n2n\sum^\infty_{n=1}\frac{2+(-1)^n}{2^n}∑n=1∞2n2+(−1)n的收敛性
lim⁡n→∞2+(−1)n2nn=12lim⁡n→∞2+(−1)nn=12<1\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2+(-1)^n}{2^n}}=\frac12\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2+(-1)^n}=\frac12<1limn→∞n2n2+(−1)n=21limn→∞n2+(−1)n=21<1
估计数收敛

定理6（极限审敛法）：设∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un为正项级数，

如果lim⁡n→∞nun=l>0\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0limn→∞nun=l>0（或lim⁡n→∞nun=+∞\lim_{n\to\infty}nu_n=+\inftylimn→∞nun=+∞），那么级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un发散
如果p>1，而果lim⁡n→∞npun=l(0≤l<+∞)\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l\quad(0\leq l<+\infty)limn→∞npun=l(0≤l<+∞)，那么级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un收敛

定理6可以看做定理3，如定理6第一条对应定理3第二条lim⁡n→∞nun=lim⁡n→∞un1n=l>0\lim_{n\to\infty}nu_n=\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{\frac1n}=l>0limn→∞nun=limn→∞n1un=l>0。另一条同理

例5：判断级数∑n=1∞n+1(1−cos⁡πn)\sum^\infty_{n=1}\sqrt{n+1}(1-\cos\frac\pi n)∑n=1∞n+1(1−cosnπ)的收敛性
n→∞n\to\inftyn→∞时，1−cos⁡πn∼12π2n2=π22⋅1n21-\cos\frac\pi n\sim\frac12\frac{\pi^2}{n^2}=\frac{\pi^2}2\cdot\frac1{n^2}1−cosnπ∼21n2π2=2π2⋅n21
lim⁡n→∞n32n+1⋅(1−cos⁡πn)=lim⁡n→∞π22⋅n32⋅n+1n2=π22\lim_{n\to\infty}n^{\frac32}\sqrt{n+1}\cdot(1-\cos\frac\pi n)=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi^2}2\cdot\frac{n^{\frac32}\cdot\sqrt{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}2limn→∞n23n+1⋅(1−cosnπ)=limn→∞2π2⋅n2n23⋅n+1=2π2
又∵p=32>1\because p=\frac32>1∵p=23>1
故级数收敛

二、交错级数及其审敛法

定理7（莱布尼茨定理）：如果交错级数∑n=1∞(−1)n−1un\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}u_n∑n=1∞(−1)n−1un满足条件

un≥un+1(n=1,2,3,⋅)u_n\geq u_{n+1}\quad(n=1,2,3,\cdot)un≥un+1(n=1,2,3,⋅)
lim⁡n→∞un=0\lim_{n\to\infty}u_n=0limn→∞un=0

那么级数收敛，且其和s≤u1s\leq u_1s≤u1

例6：交错级数1−12+13−14+⋅+(−1)n−11n+⋯1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdot+(-1)^{n-1}\frac1n+\cdots1−21+31−41+⋅+(−1)n−1n1+⋯满足条件
un=1n>1n+1=un+1(n=1,2,⋯)u_n=\frac1n>\frac1{n+1}=u_{n+1}\quad(n=1,2,\cdots)un=n1>n+11=un+1(n=1,2,⋯)
lim⁡n→∞un=lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac1n=0limn→∞un=limn→∞n1=0
所以级数收敛，且其和s<1s<1s<1。如果去前nnn项和sn=1−12+13−⋯+(−1)n−11ns_n=1-\frac12+\frac13-\cdots+(-1)^{n-1}\frac1nsn=1−21+31−⋯+(−1)n−1n1作为sss的近似值

三、绝对收敛与条件收敛

若∑n=1∞∣un∣\sum^\infty_{n=1}|u_n|∑n=1∞∣un∣收敛，称∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un绝对收敛
若∑n=1∞∣un∣\sum^\infty_{n=1}|u_n|∑n=1∞∣un∣发散，且∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un收敛，称∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un条件收敛

定理：如果级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un绝对收敛，那么级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un必定收敛

性质

若级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un和级数∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn均绝对收敛，则∑n=1∞un±vn\sum^\infty_{n=1}u_n\pm v_n∑n=1∞un±vn也绝对收敛
若级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un绝对收敛，级数∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn条件收敛，则∑n=1∞un±vn\sum^\infty_{n=1}u_n\pm v_n∑n=1∞un±vn条件收敛
若级数∑n=1∞un\sum^\infty_{n=1}u_n∑n=1∞un和级数∑n=1∞vn\sum^\infty_{n=1}v_n∑n=1∞vn均条件收敛，则∑n=1∞un±vn\sum^\infty_{n=1}u_n\pm v_n∑n=1∞un±vn可能条件收敛，可能绝对收敛

幂级数

一、幂级数及其收敛性

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，它的形式就是∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯\sum^\infty_{n=0}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdotsn=0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯其中常数a0,a1,a2,⋯,an,⋯a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdotsa0,a1,a2,⋯,an,⋯叫做幂级数的系数

1. 阿贝尔（Abel）定理

如果级数∑n=0∞anxn\sum^\infty_{n=0}a_nx^n∑n=0∞anxn当x=x0(x0≠0)x=x_0(x_0\ne0)x=x0(x0=0)时收敛，那么适合不等式∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0|∣x∣<∣x0∣的一切xxx使这幂级数绝对收敛，如果级数∑n=0∞anxn\sum^\infty_{n=0}a_nx^n∑n=0∞anxn当x=x0x=x_0x=x0时发散，那么适合不等式∣x∣>∣x0∣|x|>|x_0|∣x∣>∣x0∣的一切使xxx这幂级数发散

推论：如果幂级数∑n=0∞anxn\sum^\infty_{n=0}a_nx^n∑n=0∞anxn不是仅在x=0x=0x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数RRR存在，使得

当∣x∣<R|x|<R∣x∣<R时，幂级数绝对收敛
当∣x∣>R|x|>R∣x∣>R时，幂级数发散
当x=Rx=Rx=R与x=−Rx=-Rx=−R时，幂级数可能收敛也可能发散

2. 收敛半径的判别方法

如果lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rholimn→∞∣anan+1∣=ρ，其中an,an+1a_n,a_{n+1}an,an+1是幂级数∑n=0∞anxn\sum^\infty_{n=0}a_nx^n∑n=0∞anxn的相邻两项的系数，那么幂级数的收敛半径R={1ρρ≠0+∞ρ=00ρ=+∞R=\begin{cases}\frac1\rho\quad\rho\ne0\\+\infty\quad\rho=0\\0\quad\rho=+\infty\end{cases}R=⎩⎨⎧ρ1ρ=0+∞ρ=00ρ=+∞

例1：求幂级数x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+⋯x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}n+\cdotsx−2x2+3x3−⋯+(−1)n−1nxn+⋯收敛半径和收敛域
∑n=1∞(−1)n−1xnn\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}n∑n=1∞(−1)n−1nxn
an=(−1)n−1na_n=\frac{(-1)^{n-1}}nan=n(−1)n−1
ρ=lim⁡n→∞∣an+1an∣=1\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1ρ=limn→∞∣anan+1∣=1
R=1ρ1R=\frac1\rho1R=ρ11
当收敛半径为111

收敛域包含端点，需要计算端点是否收敛；收敛区间是个开区间，不需要计算端点

当收敛区间为(−1,1)(-1,1)(−1,1)
当x=−1x=-1x=−1时
级数=∑n=1∞(−1)n−1n⋅(−1)n=−∑n=1∞1n=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\cdot(-1)^n=-\sum^\infty_{n=1}\frac1n=∑n=1∞n(−1)n−1⋅(−1)n=−∑n=1∞n1，发散
当x=1x=1x=1时
级数=∑n=1∞(−1)n−1n⋅1n=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n\cdot1^n=∑n=1∞n(−1)n−1⋅1n，由莱布尼茨判别法知级数收敛
故收敛域为(−1,1](-1,1](−1,1]

例2：求幂级数∑n=0∞(2n)!(n)!x2n\sum^\infty_{n=0}\frac{(2n)!}{(n)!}x^{2n}∑n=0∞(n)!(2n)!x2n的收敛半径
对于缺项的幂级数不能使用一般收敛半径的判别法，该题使用达朗贝尔判别法
un(x)=(2n)!(n)!x2nu_n(x)=\frac{(2n)!}{(n)!}x^{2n}un(x)=(n)!(2n)!x2n
lim⁡n→∞∣un+1(x)un(x)=lim⁡n→∞∣(2n+1)(2n+2)(n+1)2⋅x2∣=4∣x2∣<1\lim_{n\to\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\lim_{n\to\infty}|\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\cdot x^2|=4|x^2|<1limn→∞∣un(x)un+1(x)=limn→∞∣(n+1)2(2n+1)(2n+2)⋅x2∣=4∣x2∣<1
∵∣x∣<12\because |x|<\frac12∵∣x∣<21
则R=12R=\frac12R=21

例3：求幂级数∑n=1∞(x−1)n2n⋅n\sum^\infty_{n=1}\frac{(x-1)^n}{2^n\cdot n}∑n=1∞2n⋅n(x−1)n的收敛域
令t=x−1t=x-1t=x−1
则级数=∑n=1∞tn2n⋅n=\sum^\infty_{n=1}\frac{t^n}{2^n\cdot n}=∑n=1∞2n⋅ntn
ρ=lim⁡n→∞∣an+1an∣=12\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac12ρ=limn→∞∣anan+1∣=21
∴R=1ρ=2\therefore R=\frac1\rho=2∴R=ρ1=2
则ttt的收敛区间为(−2,2)(-2,2)(−2,2)，则xxx的收敛区间为(−1,3)(-1,3)(−1,3)
当x=−1x=-1x=−1
级数=∑n=1∞(−2)n2n⋅n=∑n=1∞(−1)nn=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-2)^n}{2^n\cdot n}=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n}n=∑n=1∞2n⋅n(−2)n=∑n=1∞n(−1)n，级数收敛
当x=3x=3x=3时
级数=∑n=1∞(−2)n2n⋅n=∑n=1∞1n=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-2)^n}{2^n\cdot n}=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}n=∑n=1∞2n⋅n(−2)n=∑n=1∞n1，级数发散
则收敛域为[−1,3)[-1,3)[−1,3)

二、幂级数的运算

性质1：幂级数∑n=1∞anxn\sum^\infty_{n=1}a_nx^n∑n=1∞anxn的和函数s(x)s(x)s(x)在其收敛域III上连续

性质2：幂级数∑n=1∞anxn\sum^\infty_{n=1}a_nx^n∑n=1∞anxn的和函数s(x)s(x)s(x)在其收敛域III上可积，并有逐项积分公式∫0xs(t)dt=∫0x[∑n=0∞antn]dt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞ann+1xn+1(x∈I)\int^x_0s(t)dt=\int^x_0[\sum^\infty_{n=0}a_nt^n]dt=\sum^\infty_{n=0}\int^x_0a_nt^ndt=\sum^\infty_{n=0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\quad(x\in I)∫0xs(t)dt=∫0x[n=0∑∞antn]dt=n=0∑∞∫0xantndt=n=0∑∞n+1anxn+1(x∈I)逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径（收敛域可能不同）

性质3：幂级数∑n=1∞anxn\sum^\infty_{n=1}a_nx^n∑n=1∞anxn的和函数s(x)s(x)s(x)在其收敛区间(−R,R)(-R,R)(−R,R)内可导，且有逐项求导公式s′(x)=(∑n=1∞anxn)′=∑n=1∞(anxn)′=∑n=1∞nanxn−1(∣x∣<R)s'(x)=(\sum^\infty_{n=1}a_nx^n)'=\sum^\infty_{n=1}(a_nx^n)'=\sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1}\quad(|x|<R)s′(x)=(n=1∑∞anxn)′=n=1∑∞(anxn)′=n=1∑∞nanxn−1(∣x∣<R)逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径（收敛域可能不同）

展开成幂级数

给定f(x)f(x)f(x)，若能找到一个幂级数∑n=0∞anxn\sum^\infty_{n=0}a_nx^n∑n=0∞anxn，使该幂级数在其收敛区间III上的和函数就是f(x)f(x)f(x)，即f(x)=∑n=0∞anxn,x∈If(x)=\sum^\infty_{n=0}a_nx^n,x\in If(x)=∑n=0∞anxn,x∈I，则称函数f(x)f(x)f(x)在区间III上能展开为xxx的幂级数，并称∑n=0∞anxn\sum^\infty_{n=0}a_nx^n∑n=0∞anxn为f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处的幂级数（麦克劳林）展开式

定理：函数f(x)f(x)f(x)在区间III上能展开为xxx的幂级数∑n=0∞anxn\sum^\infty_{n=0}a_nx^n∑n=0∞anxn的充分必要条件是f(x)f(x)f(x)在III上任意阶可导，且lim⁡n→∞f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1=0\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}=0limn→∞(n+1)!f(n+1)(ξ)xn+1=0，而此时系数an=f(n)(0)n!,n=0,1,2,⋯a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},n=0,1,2,\cdotsan=n!f(n)(0),n=0,1,2,⋯

几个重要函数的麦克劳林展开式

ex=∑n=0∞xnn!,−∞<x<+∞\begin{aligned}e^x=\sum^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!},-\infty<x<+\infty\end{aligned}ex=n=0∑∞n!xn,−∞<x<+∞
sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,−∞<x<+∞\begin{aligned}\sin x=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty<x<+\infty\end{aligned}sinx=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1,−∞<x<+∞
cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,−∞<x<+∞\begin{aligned}\cos x=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty<x<+\infty\end{aligned}cosx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n,−∞<x<+∞
ln⁡(1+x)=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1,−1<x≤1\begin{aligned}\ln(1+x)=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1},-1<x\leq1\end{aligned}ln(1+x)=n=0∑∞(−1)nn+1xn+1,−1<x≤1
11−x=∑n=0∞xn,−1<x<1\begin{aligned}\frac1{1-x}=\sum^\infty_{n=0}x^n,-1<x<1\end{aligned}1−x1=n=0∑∞xn,−1<x<1

使用定理进行展开属于直接法，较麻烦，一般不考虑。一般使用间接法，如例1中的方法

例1：把函数f(x)=1x2+4x+3f(x)=\frac1{x^2+4x+3}f(x)=x2+4x+31展开成(x−1)(x-1)(x−1)的幂级数
f(x)=1(x+1)(x+3)=12(1+x)−12(3+x)=14(1+x−12)−18(1+x−14)=14∑n=0∞(−x−12)n−18∑n=0∞(−x−14)n=∑n=0∞(−1)n(12n+2−122n+3)(x−1)n\begin{aligned}f(x)&=\frac1{(x+1)(x+3)}\\&=\frac1{2(1+x)}-\frac1{2(3+x)}\\&=\frac1{4(1+\frac{x-1}2)}-\frac1{8(1+\frac{x-1}4)}\\&=\frac14\sum^\infty_{n=0}(-\frac{x-1}2)^n-\frac18\sum^\infty_{n=0}(-\frac{x-1}4)^n\\&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n(\frac1{2^{n+2}}-\frac1{2^{2n+3}})(x-1)^n\end{aligned}f(x)=(x+1)(x+3)1=2(1+x)1−2(3+x)1=4(1+2x−1)1−8(1+4x−1)1=41n=0∑∞(−2x−1)n−81n=0∑∞(−4x−1)n=n=0∑∞(−1)n(2n+21−22n+31)(x−1)n
由−1<−x−12<1-1<-\frac{x-1}2<1−1<−2x−1<1且−1<−x−14<1-1<-\frac{x-1}4<1−1<−4x−1<1
知−1<x<3-1<x<3−1<x<3

傅里叶级数

一、函数展开为傅里叶级数

1. 傅里叶级数的定义

f(x)f(x)f(x)以2π2\pi2π为周期
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)(1)f(x)=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad(1)f(x)=2a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)(1)
a0=1π∫−ππf(x)dxa_0=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)dxa0=π1∫−ππf(x)dx
{an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx(n=0,1,2,3,⋯)bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx(n=1,2,3,⋯)(2)\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\cos nxdx\quad(n=0,1,2,3,\cdots)\\b_n=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\sin nxdx\quad(n=1,2,3,\cdots)\end{cases}\quad(2){an=π1∫−ππf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,⋯)bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,⋯)(2)

如果公式(2)(2)(2)中的积分都存在，这时他们定出的系数a0,a1,b1,⋯a_0,a_1,b_1,\cdotsa0,a1,b1,⋯叫做函数f(x)f(x)f(x)的傅里叶（Fourier）系数，将这些系数带入式(1)(1)(1)右端，所得的三角级数a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)叫做函数f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数

2. 狄利克雷收敛定理

定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设f(x)f(x)f(x)是周期为2π2\pi2π的周期函数，如果它满足：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点

那么f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数收敛，并且

当xxx是f(x)f(x)f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)f(x)f(x)
当xxx是f(x)f(x)f(x)的间断点时，级数收敛于12[f(x−)+f(x+)]\frac12[f(x^-)+f(x^+)]21[f(x−)+f(x+)]

例1：设f(x)f(x)f(x)是周期为2π2\pi2π的周期函数，它在[−π,π)[-\pi,\pi)[−π,π)上的表达式为f(x)={−1,−π≤x<01,0≤x<πf(x)=\begin{cases}-1,-\pi\leq x<0\\1,0\leq x<\pi\end{cases}f(x)={−1,−π≤x<01,0≤x<π，将f(x)f(x)f(x)展开为傅里叶级数
a0=1π∫−ππf(x)dx=0\begin{aligned}a_0=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)dx=0\end{aligned}a0=π1∫−ππf(x)dx=0
an=1π∫−ππf(x)⋅cos⁡nxdx=0\begin{aligned}a_n=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\cdot\cos nxdx=0\end{aligned}an=π1∫−ππf(x)⋅cosnxdx=0
bn=1π∫−ππf(x)⋅sin⁡nxdx=2π∫0π1⋅sin⁡nxdx=2π(−1n)cos⁡nx∣0π={4nπ,n=1,3,5,⋯0,n=2,4,6,⋯\begin{aligned}b_n&=\frac1\pi\int^\pi_{-\pi}f(x)\cdot\sin nxdx\\&=\frac2\pi\int^\pi_01\cdot \sin nxdx\\&=\frac2\pi(-\frac1n)\cos nx|^\pi_0\\&=\begin{cases}\frac4{n\pi},n=1,3,5,\cdots\\0,n=2,4,6,\cdots\end{cases}\end{aligned}bn=π1∫−ππf(x)⋅sinnxdx=π2∫0π1⋅sinnxdx=π2(−n1)cosnx∣0π={nπ4,n=1,3,5,⋯0,n=2,4,6,⋯
则
f(x)=a02+∑n=1∞[ancos⁡nx+bnsin⁡nx]=0+∑n=1∞[0+4(2n−1)πsin⁡(2n−1)⋅x]=4π∑n=1∞12n−1sin⁡(2n−1)⋅x(−∞<x<+∞,x≠0,≠±π,±2π,⋯,±nπ\begin{aligned}f(x)&=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos nx+b_n\sin nx]\\&=0+\sum^\infty_{n=1}[0+\frac4{(2n-1)\pi}\sin(2n-1)\cdot x]\\&=\frac4\pi\sum^\infty_{n=1}\frac1{2n-1}\sin(2n-1)\cdot x\\&(-\infty<x<+\infty,x\ne0,\ne\pm\pi,\pm2\pi,\cdots,\pm n\pi\end{aligned}f(x)=2a0+n=1∑∞[ancosnx+bnsinnx]=0+n=1∑∞[0+(2n−1)π4sin(2n−1)⋅x]=π4n=1∑∞2n−11sin(2n−1)⋅x(−∞<x<+∞,x=0,=±π,±2π,⋯,±nπ

二、正弦级数和余弦级数

当f(x)f(x)f(x)为奇函数时，f(x)cos⁡nxf(x)\cos nxf(x)cosnx是奇函数，f(x)sin⁡nxf(x)\sin nxf(x)sinnx是偶函数，故{an=0(n=0,1,2,⋯)bn=2π∫0πf(x)sin⁡nxdx(n=1,2,3,⋯)\left\{\begin{aligned}&a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\\&b_n=\frac2\pi\int^\pi_0f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\cdots)\end{aligned}\right.⎩⎨⎧an=0(n=0,1,2,⋯)bn=π2∫0πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,⋯)
即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数，为∑n=1∞bnsin⁡nx\sum^\infty_{n=1}b_n\sin nx∑n=1∞bnsinnx
当f(x)f(x)f(x)为偶函数时，f(x)cos⁡nxf(x)\cos nxf(x)cosnx是偶函数，f(x)sin⁡nxf(x)\sin nxf(x)sinnx是奇函数，故{an=2π∫0πf(x)cos⁡nxdx(n=0,1,2,⋯)bn=0(n=1,2,3,⋯)\left\{\begin{aligned}&a_n=\frac2\pi\int^\pi_0f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\cdots)\\&b_n=0(n=1,2,3,\cdots)\end{aligned}\right.⎩⎨⎧an=π2∫0πf(x)cosnxdx(n=0,1,2,⋯)bn=0(n=1,2,3,⋯)
即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数，为a02+∑n=1∞ancos⁡nx\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos nx2a0+∑n=1∞ancosnx

例2：设f(x)f(x)f(x)是周期为2π2\pi2π的周期函数，它在[−π,π)[-\pi,\pi)[−π,π)上的表达式为f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣，将f(x)f(x)f(x)展开成傅里叶级数
∵f(x)=∣x∣\because f(x)=|x|∵f(x)=∣x∣
∴bn=0\therefore b_n=0∴bn=0
a0=2π∫0πxdx=π\begin{aligned}a_0=\frac2\pi\int^\pi_0xdx=\pi\end{aligned}a0=π2∫0πxdx=π
an=2π∫0πxcos⁡nxdx=2π⋅1n∫0πxdsin⁡nx（循环积分）=2π(xsin⁡nxn+cos⁡nxn2)∣0π=2π1n2(cos⁡nπ−1)={0n=2,4,6,⋯−4n2⋅πn=1,3,5,⋯\begin{aligned}a_n&=\frac2\pi\int^\pi_0x\cos nxdx\\&=\frac2\pi\cdot\frac1n\int^\pi_0xd\sin nx\text{（循环积分）}\\&=\frac2\pi(\frac{x\sin nx}n+\frac{\cos nx}{n^2})|^\pi_0\\&=\frac2\pi\frac1{n^2}(\cos n\pi-1)\\&=\begin{cases}0\quad n=2,4,6,\cdots\\\frac{-4}{n^2\cdot\pi}\quad n=1,3,5,\cdots\end{cases}\end{aligned}an=π2∫0πxcosnxdx=π2⋅n1∫0πxdsinnx（循环积分）=π2(nxsinnx+n2cosnx)∣0π=π2n21(cosnπ−1)={0n=2,4,6,⋯n2⋅π−4n=1,3,5,⋯
则
f(x)=a02+∑n=1∞ancos⁡nx=π2−4π∑n=1∞1(2n−1)2cos⁡(2n−1)x(−∞<x<+∞)\begin{aligned}f(x)&=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos nx\\&=\frac\pi2-\frac4\pi\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n-1)^2}\cos(2n-1)x\quad(-\infty<x<+\infty)\end{aligned}f(x)=2a0+n=1∑∞ancosnx=2π−π4n=1∑∞(2n−1)21cos(2n−1)x(−∞<x<+∞)

一般周期函数的傅里叶级数

定理：设周期为2l2l2l的周期函数f(x)f(x)f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl)(x∈C)f(x)=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin\frac{n\pi x}l)\quad(x\in C)f(x)=2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)(x∈C)其中an=1l∫−llf(x)cos⁡nπxldx(n=0,1,2,⋯);\begin{aligned}a_n=\frac1l\int^l_{-l}f(x)\cos\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,\cdots)\end{aligned};an=l1∫−llf(x)coslnπxdx(n=0,1,2,⋯);bn=1l∫−llf(x)sin⁡nπxldx(n=0,1,2,⋯);\begin{aligned}b_n=\frac1l\int^l_{-l}f(x)\sin\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,\cdots)\end{aligned};bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx(n=0,1,2,⋯);C={x∣f(x)=12[f(x−)+f(x+)]}\begin{aligned}C=\{x|f(x)=\frac12[f(x^-)+f(x^+)]\}\end{aligned}C={x∣f(x)=21[f(x−)+f(x+)]}

当f(x)f(x)f(x)为奇函数时，f(x)=∑n=1∞bnsin⁡nπxl(x∈C)f(x)=\sum^\infty_{n=1}b_n\sin\frac{n\pi x}l(x\in C)f(x)=∑n=1∞bnsinlnπx(x∈C)，其中bn=2l∫0lf(x)sin⁡nπxldx(n=0,1,2,3,⋯)b_n=\frac2l\int^l_0f(x)\sin\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,3,\cdots)bn=l2∫0lf(x)sinlnπxdx(n=0,1,2,3,⋯)；当f(x)f(x)f(x)为奇函数时，f(x)=a02+∑n=1∞ancos⁡nπxl(x∈C)f(x)=\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos\frac{n\pi x}l(x\in C)f(x)=2a0+∑n=1∞ancoslnπx(x∈C)，其中an=2l∫0lf(x)cos⁡nπxldx(n=0,1,2,3,⋯)a_n=\frac2l\int^l_0f(x)\cos\frac{n\pi x}ldx(n=0,1,2,3,\cdots)an=l2∫0lf(x)coslnπxdx(n=0,1,2,3,⋯)；

例1：设f(x)f(x)f(x)为周期为444的周期函数，它在[−2,2)[-2,2)[−2,2)上的表达式为f(x)={0,−2≤x<0h,0≤x<2f(x)=\begin{cases}0,-2\leq x<0\\h,0\leq x<2\end{cases}f(x)={0,−2≤x<0h,0≤x<2（常数h≠0h\ne0h=0），将f(x)f(x)f(x)展开成傅里叶级数
a0=12∫−22f(x)dx=12[∫−200dx+∫02hdx]=h\begin{aligned}a_0=\frac12\int^2_{-2}f(x)dx=\frac12[\int^0_{-2}0dx+\int^2_0hdx]=h\end{aligned}a0=21∫−22f(x)dx=21[∫−200dx+∫02hdx]=h
an=12∫−22f(x)⋯cos⁡nπx2dx=h22nπsin⁡nπx2∣02=0\begin{aligned}a_n=\frac12\int^2_{-2}f(x)\cdots\cos\frac{n\pi x}2dx=\frac h2\frac2{n\pi}\sin\frac{n\pi x}2|^2_0=0\end{aligned}an=21∫−22f(x)⋯cos2nπxdx=2hnπ2sin2nπx∣02=0
bn=12∫−22f(x)sin⁡nπx2dx=h2(−2nπ)cos⁡nπx2∣02=hnπ(1−cos⁡nπ)={2hnπ,n=1,3,5,⋯0,n=2,4,6,⋯\begin{aligned}b_n&=\frac12\int^2_{-2}f(x)\sin\frac{n\pi x}2dx\\&=\frac h2(-\frac2{n\pi})\cos\frac{n\pi x}2|^2_0\\&=\frac h{n\pi}(1-\cos n\pi)\\&=\begin{cases}\frac{2h}{n\pi},n=1,3,5,\cdots\\0,n=2,4,6,\cdots\end{cases}\end{aligned}bn=21∫−22f(x)sin2nπxdx=2h(−nπ2)cos2nπx∣02=nπh(1−cosnπ)={nπ2h,n=1,3,5,⋯0,n=2,4,6,⋯
f(x)=h2+∑n=1∞2h(2n−1)π⋯sin⁡(2n−1)πx2=h2+2hπ∑n=1∞1(2n−1)πsin⁡(2n−1)πx2(−∞<x<+∞,x≠0,±2,±4⋯)\begin{aligned}f(x)&=\frac h2+\sum^\infty_{n=1}\frac{2h}{(2n-1)\pi}\cdots\sin\frac{(2n-1)\pi x}2\\&=\frac h2+\frac{2h}\pi\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n-1)\pi}\sin\frac{(2n-1)\pi x}2\quad(-\infty<x<+\infty,x\ne0,\pm2,\pm4\cdots)\end{aligned}f(x)=2h+n=1∑∞(2n−1)π2h⋯sin2(2n−1)πx=2h+π2hn=1∑∞(2n−1)π1sin2(2n−1)πx(−∞<x<+∞,x=0,±2,±4⋯)

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