蔡高厅高等数学20-指数、对数、幂函数的连续性的证明

视频20
第六节连续函数
一、函数连续性的定义
二、函数的间断点
三、初等函数的连续性
1 连续函数的和、积、商的连续性
2 反函数、复合函数的连续性
（1）反函数的连续性
（2）复合函数的极限
设函数u=φ(x) 的极限存在 limφ（x） = a(x->x0),而y=f(u)在u=a点处连续，
limf(φ(x)) (x->x0) = f(a) = f(limφ（x） (x->x0))
(3) 复合函数的连续性，设 u=φ（x）在 x0 点处连续， φ（x0） = u0,
而y=f(u) 在 u0 点处连续，则复合函数f[φ(x)]在x0 点处连续。
证明：
3 初等函数的连续性
首先说明基本初等函数的连续性
已经证明：三角函数、反函数在其定义域内是连续的
指数函数 y=a^x(a>0,a<>1) 定义域（-∞，+∞）值域 0，+∞

证明对数函数
y=logax（a<>1,a>0）,看做是y=a^x 的反函数，利用反函数的连续性y=logax 在0 到正无穷的区间内是连续的。

证明：幂函数 y=x^α,无论α为何实常数，当x>0时。 x^α有定义，y=x^α, 同时去以a 为底的对数。
综上所述：基本初等函数在它的定义域内是连续的。

在根据连续函数的和，积、商所构成的函数还是连续的以及复合函数的连续性，初等函数在它的定义区间内处处连续

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