商空间（Quotient space）

In linear algebra, the quotient space of a vector space VVV by a subspace NNN is a vector spapce obtained by “collapsing” NNN to zero. The space obtained is called a quotient space and is denoted V/NV/NV/N (read “V mod N” or “V by N”).

定义

令VVV是数域F\mathbb FF上的矢量空间(vector space)，NNN是VVV的子空间，即N⊆VN \subseteq VN⊆V。我们定义矢量空间VVV上的等价相关(equivalence relation ∼\sim∼)，写为：x∼yx \sim yx∼y if x−y∈Nx-y \in Nx−y∈N（That is xxx is related to yyy if one can be obtained from the other by adding an element of NNN）。根据该定义，我们可以推断出：any element of NNN is related to 0\boldsymbol 00。更确切地说，NNN中的所有向量都映射到零向量的等价类(equivalent class)中。

The equivalence class (or in this case, the coset) of xxx is often denoted:
[x]=x+N[x] = x + N [x]=x+N

具体的形式：
[x]={x+n:n∈N}[x] = \{x+n: n \in N\} [x]={x+n:n∈N}

The quotient space V/NV/NV/N is then defined as V/∼V/ \simV/∼, the set of all equivalence classes induced by ∼\sim∼ on VVV.

Scalar multiplication and addition are defined on the equivalence classes by:
α[x]=[αx]∀α∈F[x]+[y]=[x+y]\begin{aligned} \alpha [x] &= [\alpha x] \ \ \forall \alpha \in \mathbb F \\ [x] + [y] &= [x + y] \end{aligned} α[x][x]+[y]=[αx] ∀α∈F=[x+y]

证明：
（1）齐次性
α[x]⇔α[x]={α(x+n):n∈N}⇔{αx+n:n∈N}⇔[αx]\alpha [x] \Leftrightarrow \alpha[x] = \{\alpha(x+n): n \in N\} \Leftrightarrow \{\alpha x+n: n \in N\} \Leftrightarrow [\alpha x] α[x]⇔α[x]={α(x+n):n∈N}⇔{αx+n:n∈N}⇔[αx]

（2）叠加性
[x]+[y]⇔{(x+n1)+(y+n2):n1,n2∈N}⇔{x+y+n:n1,n2∈N}⇔[x+y][x] + [y] \Leftrightarrow \{(x+n_1) + (y+n_2): n_1,n_2 \in N\} \Leftrightarrow \{x+y+n: n_1,n_2 \in N\} \Leftrightarrow [x+y] [x]+[y]⇔{(x+n1)+(y+n2):n1,n2∈N}⇔{x+y+n:n1,n2∈N}⇔[x+y]

这些线性操作使商空间V/NV/NV/N变成了数域F\mathbb FF上的一个矢量空间，只是我们需要注意该矢量空间的元素不是一个向量，而是一个等价类。并且我们不难得到，子空间NNN为”0类“（zero class），即
N=[0]N = [0] N=[0]

The mapping that associates to v∈Vv \in Vv∈V the equivalence calss [v][v][v] is known as quotient map (商映射)
商映射即定义为v∈Vv \in Vv∈V与等价类[v][v][v]的映射。

强调

！！商空间首先是一个集合，这个集合里边有很多元素，里边的每个元素是一个等价类。如果在商空间上定义函数，那么函数的定义域就是一个等价类，即商空间中的一个元素。另外，可以把商空间V/NV/NV/N理解为数域F\mathbb FF上的一个矢量空间，只是我们需要注意该矢量空间的元素不是一个向量，而是一个等价类。

举例

例子-1

令X=R2X=\mathbb R^2X=R2来表示标准笛卡尔平面(Cartesian plane)，令YYY为XXX中穿过原点的一条直线，那么商空间X/YX/YX/Y就是XXX中所有与YYY平行的线（This is to say that, the elements of the set X/YX/YX/Y are lines in XXX in parallel to YYY）。Note that the points along any one such line will satisfy the equivalence relation because their difference vectors belong to YYY. (<= this gives a way to visualize quotient spaces geometrically.)
对这句话的直观理解如下图所示

直观地理解，上面所描述的商空间就是一个集合，这个集合里的任意一个元素就是与YYY平行的直线。

例子-2

我们考虑矢量空间Rn\mathbb R^{n}Rn与其中一个子空间（例如：m standard basis vectors）的商空间。我们将矢量空间与子空间描述为：

The space Rn\mathbb R^{n}Rn consists of all n-tuples of real numbers (x1,⋯,xn)(x_1, \cdots, x_n)(x1,⋯,xn)
The subspace, identified with Rm\mathbb R^mRm, consists of all n−n-n−tuples such that the last n−mn-mn−m entries are zero: (x1,⋯,xm,0,⋯,0)(x_1, \cdots, x_m, 0, \cdots, 0)(x1,⋯,xm,0,⋯,0)

不难得到：
x∼y(x,y∈Rn)⇔they are identical in the last n−mcoordinates\boldsymbol x \sim \boldsymbol y (\boldsymbol x , \boldsymbol y \in \mathbb R^n) \Leftrightarrow \text{ they are identical in the last } n-m \text{ coordinates} x∼y(x,y∈Rn)⇔ they are identical in the last n−m coordinates

另外，商空间Rn/Rm\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}Rn/Rm与矢量空间Rn−m\mathbb R^{n-m}Rn−m同构（因为商空间Rn/Rm\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}Rn/Rm中的每一个元素/等价类内部的所有向量，最后的n−mn-mn−m个元素都相同，那么商空间Rn/Rm\mathbb R^{n}/\mathbb R^{m}Rn/Rm中的每个元素与矢量空间Rn−m\mathbb R^{n-m}Rn−m中的每个向量都一一对应（单射），并且对应到整个(n−m)(n-m)(n−m)维矢量空间，从而满足满射，所以两个空间的映射关系为双射，因此两个空间同构）。

商空间的性质

从例子-2中，我们可以直接得到：
dim(V/U)=dim(V)−dim(U)dim(V/U) = dim(V) - dim(U) dim(V/U)=dim(V)−dim(U)

(后续相关的性质，之后需要的时候再更新)

参考

[1] CSDN上关于商空间的其他介绍
[2] 维基百科

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商空间的理解（Quotient space）

商空间（Quotient space）

定义

强调

举例

例子-1

例子-2

商空间的性质

参考

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