向量空间，子空间，列空间，零空间（PartIII）

vector space （向量空间）
subspace space （子空间）
由Ax=bAx=b理解column space （列空间）
由Ax=0Ax=0理解null space（零空间），求解Ax=0Ax=0的主变量及特解
矩阵的秩（rank）

1. 向量空间
从字面理解，向量所在的空间，即列向量所处的空间维度。
Definition: The space RnR^{n} consists of all column vectors vv with nn components.
性质： 向量间相加，向量间的数乘以及线性组合仍然在此空间中。
RnR^{n}中用RR的原因是向量中每个值都是real number，如果向量中每个值都是复数，那么则用CnC^{n}表示nn维空间。

例如：
R2R^{2}=all 2−dim2-dim real vector=xx-yy plane

Here are three vector spaces other than RnR^{n}:
MM - The vector space of all real 2 by 2 matrices.
FF - The vector space of all real functions f(x)f(x).
ZZ - The vector space that consists only of a zerozero vector.

2.子空间
Definition:A subspace of a vector space is a set of vectors (including 00) that satisfies two requirements: If vv and ww are vectors in the subspace and c is any scalar, then
(i) v+wv+w is in the subspace;
(ii) cvv is in the subspace;

The whole space is a subspace (of itself) including：
(1)The whole space.
(2)Every subspace contains the zerozero vecor;
(3)Lines through the origin are also subspaces;
(4)The single vector (0,0,0)(0,0,0);

例如：
R3R^{3}的子空间：
（直线LL） Any line through (0,0,0)(0,0,0)
（向量空间R3R^{3}）The whole space
（平面PP） Any plane through (0,0,0)(0,0,0)
（零向量ZZ）The single vector (0,0,0)(0,0,0)

子空间性质：属于(inside)向量空间，且其对数乘、向量相加以及线性组合也是封闭的。

3.列空间
Definition: The column space consists of all linear combinations f columns. The combinations are all possible vector AxAx. They fill the column space C(A)C(A).

The system Ax=bAx=b is solvable if and only if bb is in the column space of AA. If Am∗nA_{m*n} is an m∗nm*n matrix, the columns belong to RmR^{m}, and the column space of AA is a subspace of RmR^{m}.

S=set−of−vectors−in−V

S=set-of-vectors-in-V

SS=all−combinations−of−vectors−in−S

SS=all-combinations-of-vectors-in-S
The subspace SSSS is the ‘span’ of SS, containing all combinations of vectors in SS.

举例：

A=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥

A=\begin{bmatrix} 1&1 &2 \\ 2&1 &3 \\ 3&1 &4\\4&1 &5\\ \end{bmatrix}
AA的列空间是R4R^{4}的子空间。

Ax=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢b1b2b3b4⎤⎦⎥⎥⎥

Ax=\begin{bmatrix} 1&1 &2 \\ 2&1 &3 \\ 3&1 &4\\4&1 &5\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x1 \\ x2 \\ x3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b1 \\ b2 \\ b3\\ b4\\ \end{bmatrix}
什么情况 bb使方程有解呢？
》》结论：有解情况，当bb属于 AA的列空间时（成为各列线性组合结果时），可求出组合系数xx;否则无解。

深入分析： AA的列空间属于RmR^{m}的子空间。观察各列看是否线性相关。直接的做法就是对AA求上三角矩阵UU,如果主元的个数与列数nn相等，则说明AA的各列线性无关。三个位于四维空间的向量，其线性组合应该四维空间的子空间（是过原点(0,0,0,0)(0,0,0,0)的平面或直线）。方程组是否有解取决于bb这个向量是否恰好位于平面或直线上。

备注：之前在PartI中向量线性组合时（vector combination）提及组合后向量在空间所占位置。
1）对于一个向量uu，线性组合cuu是一条线；
2）对于两个向量uu和ww，线性组合cuu+dvv张满一个平面；
3）对于三个向量uu,vv和ww,线性组合cuu+dvv+eww填满一个三维空间。

4.零空间
The NULL space of AA: solving Ax=0Ax=0
The null space of AA consists of all solutions to Ax=0Ax=0. These vectors xx are in RnR^{n}. The null space containing all solutions of Ax=0Ax=0 isdenoted by N(A)N(A).

Special solutions
The nummspace consits of all combinations of the special solutions.
整个解的过程：把AA变成UU(上三角矩阵)，再变成RR(its reduced form RR).
1)Produce zeroszeros above the pivots, by eliminating upward;
2)Produce onesones in the pivots, by dividing the whole row by its pivot.

Ax=0Ax=0,

A=⎡⎣⎢⎢⎢123411112345⎤⎦⎥⎥⎥

A=\begin{bmatrix} 1&1 &2 \\ 2&1 &3 \\ 3&1 &4\\4&1 &5\\ \end{bmatrix}其零空间为在 R3R^{3}中的线。几个特殊的解其线性组合为一条线，然后其线性组合就构成了方程的解（矩阵 AA的零空间）。

例子：

A=⎡⎣⎢1232462682810⎤⎦⎥

A=\begin{bmatrix} 1&2 &2&2 \\ 2&4 &6&8 \\ 3&6 &8&10\\ \end{bmatrix}
解： Ax=0Ax=0—-> Ux=0Ux=0

A−−>⎡⎣⎢100200222244⎤⎦⎥−−>⎡⎣⎢100200220240⎤⎦⎥=U

A-->\begin{bmatrix} 1&2 &2&2 \\ 0&0 &2&4 \\ 0&0 &2&4\\ \end{bmatrix}-->\begin{bmatrix} 1&2 &2&2 \\ 0&0 &2&4 \\ 0&0 &0&0\\ \end{bmatrix}=U

5.矩阵的秩
秩：矩阵中主元的个数，为矩阵的秩。（number of pivots）
如上例，AA的秩为2.当(x2,x4)=(0,1)(x_2,x_4)=(0,1)及(x2,x4)=(1,0)(x_2,x_4)=(1,0)所得的解为特解

x=⎡⎣⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥及⎡⎣⎢⎢⎢−20−21⎤⎦⎥⎥⎥

x=\begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\0\\ \end{bmatrix}及\begin{bmatrix} -2\\ 0\\ -2\\1\\ \end{bmatrix}
其也是 零空间基（basis）。
解 X(A的零空间)：特解的线性组合X(A的零空间)：特解的线性组合
零空间矩阵，将所有特解作为列的矩阵。

啰嗦下主变量（Pivot variables）
用rr表示主变量的个数，rr个主变量，表示整个方程组中只有rr个方程起了作用。
对于Am∗nA_{m*n},零空间中考虑的是数量nn.
r=2,主变量的数量r=2,主变量的数量
n−r=4−2.自由变量的数量n-r=4-2.自由变量的数量
自由变量，故名思议，可以任意取值，取值后的特解的线性组合即为方程组的解（矩阵的零空间）。一般取得是（0或1）。

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