关于超螺旋滑模控制（或称超扭滑模控制）的论文有很多，但关于其具体的稳定性证明却少之又少，数学功底不强的人很容易在中间步骤被卡壳。因此，笔者在这里给出详尽的稳定性证明过程，一并将超螺旋滑模控制理论介绍给各位读者，希望能为各位带来一定的参考。

关于该理论的详细证明过程，笔者目前没有找到其他文章，因此本文可以算作是全网第一篇完全详细推导的文章，喜欢的读者可以收藏加点赞。

本文需要读者具有一定的滑模控制理论的知识，可以点击传送门进行学习：滑模控制理论（SMC）概述。强烈建议读者阅读完该文章后再来阅读本文！

1. 系统模型

一般地，对于非线性系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组。令状态量为x=x1,x2=x˙1x = x_1,x_2 = \dot x_1x=x1​,x2​=x˙1​，则有：
{x˙1=x2x˙2=f+g⋅u\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases} {x˙1​=x2​x˙2​=f+g⋅u​与传统的滑模控制相比，超螺旋控制算法使用积分来获得实际控制量，不含高频切换量，因而系统中没有抖振。
令滑模面为sss，只要满足如下方程：
{s˙=−λ∣s∣12⋅sign(s)+νν˙=−α⋅sign(s)(1)\begin{cases} \dot s = - \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \cdot sign (s) + \nu \\ \dot \nu = - \alpha \cdot sign(s) \tag{1} \end{cases} {s˙=−λ∣s∣21​⋅sign(s)+νν˙=−α⋅sign(s)​(1)则系统即为稳定的。

2. 控制量设计

设状态xxx的期望值为xdx_dxd​，则跟踪误差为e1=x1−xde_1 = x_1 - x_de1​=x1​−xd​ 。设e2=e˙1=x˙1−x˙d=x2−x˙de_2 = \dot e_1 = \dot x_1 - \dot x_d = x_2 - \dot x_de2​=e˙1​=x˙1​−x˙d​=x2​−x˙d​，并设滑模面为：
s=c1e1+e2(2)s = c_1 e_1 + e_2 \tag{2} s=c1​e1​+e2​(2)对其求导
s˙=c1e˙1+e˙2=c1e2+f+g⋅u−x¨d\begin{aligned} \dot s &= c_1 \dot e_1 + \dot e_2 \\ &= c_1 e_2 + f + g \cdot u - \ddot x_d \end{aligned} s˙​=c1​e˙1​+e˙2​=c1​e2​+f+g⋅u−x¨d​​容易看出，此时如果设
u=g−1(−f+x¨d−c1e2−λ∣s∣12sign(s)−α⋅sign(s))(3)u = g^{-1} \left( -f + \ddot x_d - c_1 e_2 - \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign (s) - \alpha \cdot sign(s) \right) \tag{3} u=g−1(−f+x¨d​−c1​e2​−λ∣s∣21​sign(s)−α⋅sign(s))(3)则s˙\dot ss˙就能具有式(1)的形式。
对于(1)中参数设定为：
λ˙=ω1γ12,α=λε+12(β+4ε2)(4)\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}},\\ \alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) \tag{4} λ˙=ω1​2γ1​​​,α=λε+21​(β+4ε2)(4)式中α,β,ε,λ,ω1,γ1\alpha, \beta, \varepsilon, \lambda, \omega_1, \gamma_1α,β,ε,λ,ω1​,γ1​均大于零。

3. 稳定性证明

容易看出，与传统滑模控制不同的是，uuu中含有的不再是滑模面sss，而是其多项式∣s∣12sign(s)\left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)∣s∣21​sign(s)。除此之外，在s˙\dot ss˙表达式中还出现了另一个参数ν\nuν（式(1)）。不妨把这两者设定为新的状态变量，在此基础上设成李雅普诺夫函数。

令
{z1=∣s∣12sign(s)z2=ν(5)\begin{cases} z_1 = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s) \\ z_2 = \nu \end{cases} \tag{5} {z1​=∣s∣21​sign(s)z2​=ν​(5)则对应的各自导数为
{z˙1=12∣s∣−12s˙=12∣s∣−12(−λ∣s∣12sign(s)−α⋅sign(s))z˙2=ν˙=−α⋅sign(s)(6)\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2} \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} \dot s = \frac{1}{2} \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} \left( -\lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s) - \alpha \cdot sign(s) \right) \\ \dot z_2 = \dot \nu = - \alpha \cdot sign(s) \end{cases} \tag{6} {z˙1​=21​∣s∣−21​s˙=21​∣s∣−21​(−λ∣s∣21​sign(s)−α⋅sign(s))z˙2​=ν˙=−α⋅sign(s)​(6)又因为∣z1∣=∣s∣12\left| z_1 \right| = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}}∣z1​∣=∣s∣21​，故1∣z1∣=∣s∣−12\frac{1}{\left| z_1 \right|} = \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}}∣z1​∣1​=∣s∣−21​。故式(6)即为
{z˙1=12∣z1∣(−λz1+z2)z˙2=ν˙=−α⋅sign(s)=−α⋅sign(s)⋅∣s∣12⋅∣s∣−12=−α∣z1∣z1(7)\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) \\ \dot z_2 = \dot \nu = - \alpha \cdot sign(s) = - \alpha \cdot sign(s) \cdot \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \cdot \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} = -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \end{cases} \tag{7} {z˙1​=2∣z1​∣1​(−λz1​+z2​)z˙2​=ν˙=−α⋅sign(s)=−α⋅sign(s)⋅∣s∣21​⋅∣s∣−21​=−∣z1​∣α​z1​​(7)即：
{z˙1=12∣z1∣(−λz1+z2)z˙2=−α∣z1∣z1(7)\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) \\ \dot z_2 = -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \end{cases} \tag{7} {z˙1​=2∣z1​∣1​(−λz1​+z2​)z˙2​=−∣z1​∣α​z1​​(7)设新的状态变量为
Z=[z1z2]Z = \left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix} \right] Z=[z1​z2​​]并定义李雅普诺夫函数为
V0=(β+4ε2)z12+z22−4εz1z2=ZTPZ(8)V_0 =\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1^2 + z_2^2 - 4 \varepsilon z_1 z_2 = Z^T P Z \tag{8} V0​=(β+4ε2)z12​+z22​−4εz1​z2​=ZTPZ(8)其中P=[β+4ε2−2ε−2ε1](9)P = \left[ \begin{matrix} \beta + 4 \varepsilon^2 & -2 \varepsilon \\ -2 \varepsilon & 1 \end{matrix} \right] \tag{9} P=[β+4ε2−2ε​−2ε1​](9)
定理1：矩阵AAA正定的充要条件是矩阵AAA的所有特征根均大于零。

根据定理1不难得出矩阵PPP是正定的，因而李雅普诺夫函数V0≥0V_0 \geq 0V0​≥0。

3.1 李雅普诺夫函数V0V_0V0​的求导过程

直接对(8)求导。
V˙0=2(β+4ε2)z1z˙1+2z2z˙2−4εz2z˙1−4εz1z˙2=2(β+4ε2)z1⋅12∣z1∣(−λz1+z2)+2z2(−α∣z1∣z1)−4εz2⋅12∣z1∣(−λz1+z2)−4εz1(−α∣z1∣z1)=−λ∣z1∣(β+4ε2)z12+1∣z1∣(β+4ε2)z1z2−2α∣z1∣z1z2+2λε∣z1∣z1z2−2ε∣z1∣z22+4αε∣z1∣z12=1∣z1∣[4αε−λ(β+4ε2)]z12+1∣z1∣[(β+4ε2)−2α+2λε]z1z2−2ε∣z1∣z22=1∣z1∣ZT[4αε−λ(β+4ε2)12(β+4ε2)−α+λε12(β+4ε2)−α+λε−2ε]Z=−1∣z1∣ZTQZ(10)\begin{aligned} \dot V_0 &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \dot z_1 +2 z_2 \dot z_2 - 4 \varepsilon z_2 \dot z_1 - 4 \varepsilon z_1 \dot z_2 \\ &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) + 2 z_2 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) - 4 \varepsilon z_2 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) - 4 \varepsilon z_1 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) \\ &= - \frac{\lambda}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 z_2 - \frac{2 \alpha}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 + \frac{2 \lambda \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 - \frac{2 \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_2^2 + \frac{4 \alpha \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ 4 \alpha \varepsilon - \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) \right] z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - 2 \alpha + 2 \lambda \varepsilon \right] z_1 z_2 - \frac{2 \varepsilon}{ \left| z_1 \right| } z_2^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } Z^T \left[ \begin{matrix} 4 \alpha \varepsilon - \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad \qquad \quad \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - \alpha + \lambda \varepsilon \\ \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - \alpha + \lambda \varepsilon & \qquad \qquad \quad -2 \varepsilon \end{matrix} \right] Z \\ &= -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ \end{aligned} \tag{10} V˙0​​=2(β+4ε2)z1​z˙1​+2z2​z˙2​−4εz2​z˙1​−4εz1​z˙2​=2(β+4ε2)z1​⋅2∣z1​∣1​(−λz1​+z2​)+2z2​(−∣z1​∣α​z1​)−4εz2​⋅2∣z1​∣1​(−λz1​+z2​)−4εz1​(−∣z1​∣α​z1​)=−∣z1​∣λ​(β+4ε2)z12​+∣z1​∣1​(β+4ε2)z1​z2​−∣z1​∣2α​z1​z2​+∣z1​∣2λε​z1​z2​−∣z1​∣2ε​z22​+∣z1​∣4αε​z12​=∣z1​∣1​[4αε−λ(β+4ε2)]z12​+∣z1​∣1​[(β+4ε2)−2α+2λε]z1​z2​−∣z1​∣2ε​z22​=∣z1​∣1​ZT[4αε−λ(β+4ε2)21​(β+4ε2)−α+λε​21​(β+4ε2)−α+λε−2ε​]Z=−∣z1​∣1​ZTQZ​(10)注意(10)中最后一个等号前加了负号。这样QQQ即为
Q=[−4αε+λ(β+4ε2)−12(β+4ε2)+α−λε−12(β+4ε2)+α−λε2ε](11)Q = \left[ \begin{matrix} -4 \alpha \varepsilon + \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon & \qquad 2 \varepsilon \end{matrix} \right] \tag{11} Q=[−4αε+λ(β+4ε2)−21​(β+4ε2)+α−λε​−21​(β+4ε2)+α−λε2ε​](11)这样我们得到李雅普诺夫函数的导数：
V˙0=−1∣z1∣ZTQZ(12)\dot V_0 = -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ \tag{12} V˙0​=−∣z1​∣1​ZTQZ(12)

3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论（必读部分）

我们把式(11)所代表的QQQ表示为
Q=[ABCD]Q = \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] Q=[AC​BD​]下面开始求QQQ的特征根的一般形式。
∣pI−Q∣=∣p−A−B−Cp−D∣=p2−(A+D)p+AD−BC\left| pI - Q \right| = \left| \begin{matrix} p-A & -B \\ -C & p-D \end{matrix} \right| = p^2 - (A+D) p + AD - BC ∣pI−Q∣=∣∣​p−A−C​−Bp−D​∣∣​=p2−(A+D)p+AD−BCΔ=b2−4ac=(A+D)2−4(AD−BC)=(A−D)2+4BC\Delta = b^2 - 4ac = (A+D)^2 - 4(AD - BC) = (A-D)^2 +4BC Δ=b2−4ac=(A+D)2−4(AD−BC)=(A−D)2+4BC特征根为
p1,2(Q)=A+D±(A−D)2+4BC2p_{1,2} (Q) = \frac{A+D \pm \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2} p1,2​(Q)=2A+D±(A−D)2+4BC​​设两个特征根中大的为qmax⁡(Q)q_{\max}(Q)qmax​(Q)，小的为qmin⁡(Q)q_{\min}(Q)qmin​(Q)，有
{pmax⁡(Q)=A+D+(A−D)2+4BC2pmin⁡(Q)=A+D−(A−D)2+4BC2\begin{cases} p_{\max}(Q) = \frac{A+D + \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2} \\ p_{\min} (Q)= \frac{A+D - \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2} \end{cases} ⎩⎨⎧​pmax​(Q)=2A+D+(A−D)2+4BC​​pmin​(Q)=2A+D−(A−D)2+4BC​​​为方便表示，把根号部分记为RRR，进而pmin⁡(Q)ZTZ=A+D−R2(z12+z22)(13)p_{\min} (Q)Z^TZ = \frac{A+D - R}{2} \left( z_1^2 + z_2^2 \right) \tag{13} pmin​(Q)ZTZ=2A+D−R​(z12​+z22​)(13)另一方面有
ZTQZ=Az12+(B+C)z1z2+Dz22(14)Z^TQZ = A z_1^2 + (B+C)z_1 z_2 + D z_2^2 \tag{14} ZTQZ=Az12​+(B+C)z1​z2​+Dz22​(14)为比较pmin⁡(Q)ZTZp_{\min} (Q)Z^TZpmin​(Q)ZTZ与ZTQZZ^TQZZTQZ的大小，不妨作差：
2(ZTQZ−pmin⁡(Q)ZTZ)=2Az12+2(B+C)z1z2+2Dz22−[A+D−R](z12+z22)=(A−D+R)z12+(D−A+R)z22+2(B+C)z1z2=(A−D+R)[z12+D−A+RA−D+Rz22+2(B+C)A−D+Rz1z2]=(A−D+R)[z12+(R+D−A)2R2−(D−A)2z22+2(B+C)(R+D−A)R2−(D−A)2z1z2]=(A−D+R)[z12+(R+D−A)24BCz22+2(B+C)(R+D−A)4BCz1z2]=(A−D+R)[(z1+R+D−A2BCz2)2+2(B+C)(R+D−A)4BCz1z2−R+D−ABCz1z2]=(A−D+R)[(z1+R+D−A2BCz2)2+(R+D−A)(2B+2C−4BC)4BCz1z2](15)\begin{aligned} 2 \left( Z^TQZ - p_{\min} (Q)Z^TZ \right) &= 2A z_1^2 +2(B+C)z_1 z_2 + 2D z_2^2 - \left[ A+D - R \right] (z_1^2 + z_2^2 ) \\ &= \left( A - D + R \right) z_1^2 + \left( D-A+R \right) z_2^2 + 2 (B+C) z_1 z_2 \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{D-A+R}{A-D+R} z_2^2 + \frac{2(B+C)}{A-D+R}z_1 z_2 \right]\\ &= \left( A - D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{( R + D - A)^2}{R^2 - (D-A)^2} z_2^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{R^2 - (D-A)^2}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{(R+D-A)^2}{4BC}z_2^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ \left( z_1 + \frac{R+D-A}{2 \sqrt{BC}}z_2 \right)^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}z_1 z_2 - \frac{R+D-A}{\sqrt{BC}}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ \left( z_1 + \frac{R+D-A}{2 \sqrt{BC}}z_2 \right)^2 + \frac{(R+D-A)(2B+2C-4\sqrt{BC})}{4BC}z_1 z_2 \right] \tag{15} \end{aligned} 2(ZTQZ−pmin​(Q)ZTZ)​=2Az12​+2(B+C)z1​z2​+2Dz22​−[A+D−R](z12​+z22​)=(A−D+R)z12​+(D−A+R)z22​+2(B+C)z1​z2​=(A−D+R)[z12​+A−D+RD−A+R​z22​+A−D+R2(B+C)​z1​z2​]=(A−D+R)[z12​+R2−(D−A)2(R+D−A)2​z22​+R2−(D−A)22(B+C)(R+D−A)​z1​z2​]=(A−D+R)[z12​+4BC(R+D−A)2​z22​+4BC2(B+C)(R+D−A)​z1​z2​]=(A−D+R)[(z1​+2BC​R+D−A​z2​)2+4BC2(B+C)(R+D−A)​z1​z2​−BC​R+D−A​z1​z2​]=(A−D+R)[(z1​+2BC​R+D−A​z2​)2+4BC(R+D−A)(2B+2C−4BC​)​z1​z2​]​(15)对于(15)，式中(A−D+R)\left( A-D+R \right)(A−D+R)为常数项；因此最后结果可看成由2部分组成，第一部分为完全平方式，大于等于零；而对于第二部分的分子来说又分为R+D−AR+D-AR+D−A和2B+2C−4BC2B+2C-4\sqrt{BC}2B+2C−4BC​两部分。其中：
R+D−A=(A−D)2+4BC+D−A=(A−D)2+4BC−(A−D)≥0R+D-A = \sqrt{(A-D)^2 +4BC} +D-A = \sqrt{(A-D)^2 +4BC} - (A-D) \geq 0 R+D−A=(A−D)2+4BC​+D−A=(A−D)2+4BC​−(A−D)≥0而根据绝对不等式2B+2C−4BC≥4BC−4BC=02B+2C-4\sqrt{BC} \geq 4 \sqrt{BC} - 4 \sqrt{BC} = 0 2B+2C−4BC​≥4BC​−4BC​=0故式(15)的第二部分也大于等于零。

到这里我们总结可以得到：
ZTQZ−pmin⁡(Q)ZTZ≥0Z^TQZ - p_{\min}(Q) Z^TZ \geq 0 ZTQZ−pmin​(Q)ZTZ≥0即pmin⁡(Q)ZTZ≤ZTQZ(16)p_{\min}(Q) Z^TZ \leq Z^TQZ \tag{16} pmin​(Q)ZTZ≤ZTQZ(16)同理可以得
pmax⁡(Q)ZTZ≥ZTQZ(17)p_{\max} (Q)Z^TZ \geq Z^TQZ \tag{17} pmax​(Q)ZTZ≥ZTQZ(17)

3.3 李雅普诺夫函数导数的变换

式(17)是对V˙0=−1∣z1∣ZTQZ\dot V_0 = -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZV˙0​=−∣z1​∣1​ZTQZ作出的，对于V0=ZTPZV_0 = Z^TPZV0​=ZTPZ同样根据式(17)有
pmax⁡(P)ZTZ≥ZTPZ⟹(ZTPZ)12≤pmax⁡12(P)(ZTZ)12=pmax⁡12(P)∣∣Z∣∣⟹∣∣Z∣∣≥(ZTPZ)12pmax⁡12(P)=V012pmax⁡12(P)(18)p_{\max} (P)Z^TZ \geq Z^TPZ \Longrightarrow \\ \left( Z^TPZ \right)^{\frac{1}{2}} \leq p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)\left( Z^T Z \right)^{\frac{1}{2}} = p_{\max}^{\frac{1}{2}} (P)\left| \left| Z \right| \right| \Longrightarrow \\ \left| \left| Z \right| \right| \geq \frac{\left( Z^TPZ \right)^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} = \frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} \tag{18} pmax​(P)ZTZ≥ZTPZ⟹(ZTPZ)21​≤pmax21​​(P)(ZTZ)21​=pmax21​​(P)∣∣Z∣∣⟹∣∣Z∣∣≥pmax21​​(P)(ZTPZ)21​​=pmax21​​(P)V021​​​(18)另一方面
∣∣Z∣∣=z12+z22=(∣s∣12sign(s))2+ν2=∣s∣+ν2≥∣s∣=∣s∣12=∣z1∣(19)\left| \left| Z \right| \right| = \sqrt{z_1^2 + z_2^2} = \sqrt{\left( \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)\right)^2 + \nu^2} = \sqrt{\left| s \right| + \nu^2} \geq \sqrt{\left| s \right|} = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} = \left| z_1 \right| \tag{19} ∣∣Z∣∣=z12​+z22​​=(∣s∣21​sign(s))2+ν2​=∣s∣+ν2​≥∣s∣​=∣s∣21​=∣z1​∣(19)由(19)推出
∣z1∣=∣s∣12≤∣∣Z∣∣⟹−1∣z1∣≤−1∣∣Z∣∣(20)\left| z_1 \right| = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \leq \left| \left| Z \right| \right| \Longrightarrow \\ -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} \leq - \frac{1}{\left| \left| Z \right| \right|} \tag{20} ∣z1​∣=∣s∣21​≤∣∣Z∣∣⟹−∣z1​∣1​≤−∣∣Z∣∣1​(20)又根据(16)：
V˙0=−1∣z1∣ZTQZ≤−1∣z1∣pmin⁡(Q)ZTZ=−1∣z1∣pmin⁡(Q)∣∣Z∣∣2≤−1∣∣Z∣∣pmin⁡(Q)∣∣Z∣∣2=−pmin⁡(Q)∣∣Z∣∣\begin{aligned} \dot V_0 &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} Z^T Q Z \leq -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) Z^TZ \\ &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \leq - \frac{1}{\left| \left| Z \right| \right| }p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \\ &= -p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| \end{aligned} V˙0​​=−∣z1​∣1​ZTQZ≤−∣z1​∣1​pmin​(Q)ZTZ=−∣z1​∣1​pmin​(Q)∣∣Z∣∣2≤−∣∣Z∣∣1​pmin​(Q)∣∣Z∣∣2=−pmin​(Q)∣∣Z∣∣​再根据(18)
V˙0≤−pmin⁡(Q)∣∣Z∣∣≤−pmin⁡(Q)V012pmax⁡12(P)=−rV012(21)\dot V_0 \leq -p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| \leq -p_{\min}(Q)\frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} = -r V_0 ^{\frac{1}{2}} \tag{21} V˙0​≤−pmin​(Q)∣∣Z∣∣≤−pmin​(Q)pmax21​​(P)V021​​​=−rV021​​(21)其中
r=pmin⁡(Q)pmax⁡12(P)(22)r = \frac{p_{\min}(Q)}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} \tag{22} r=pmax21​​(P)pmin​(Q)​(22)
定理2：若系统的李雅普诺夫函数满足
V˙≤−rV12,(r>0)\dot V \leq - r V ^{\frac{1}{2}}, \qquad \left( r >0 \right) V˙≤−rV21​,(r>0)则系统具有稳定性。

3.4 矩阵QQQ的正定性的保证

根据定理2，式(21)保证了系统具有李雅普诺夫稳定性。读者可能注意到，式(21)只有在r≥0r \geq 0r≥0的情况下才能保证系统稳定性，而根据式(22)，即需要pmin⁡(Q)p_{\min}(Q)pmin​(Q)和pmax⁡12(P)p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)pmax21​​(P)均大于等于零。由于矩阵PPP为正定的，因此pmax⁡12(P)>0p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P) > 0pmax21​​(P)>0立即得证；下面需要保证pmin⁡(Q)>0p_{\min}(Q) > 0pmin​(Q)>0，即保证矩阵QQQ的正定性。

这里再次列出QQQ的表达式：
Q=[−4αε+λ(β+4ε2)−12(β+4ε2)+α−λε−12(β+4ε2)+α−λε2ε]Q = \left[ \begin{matrix} -4 \alpha \varepsilon + \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon & \qquad 2 \varepsilon \end{matrix} \right] Q=[−4αε+λ(β+4ε2)−21​(β+4ε2)+α−λε​−21​(β+4ε2)+α−λε2ε​]不妨直接取
α=λε+12(β+4ε2)(23)\alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) \tag{23} α=λε+21​(β+4ε2)(23)这样QQQ可以化简为一个对角矩阵
Q=[(λ−2ε)(β+4ε2)−4λε2002ε]Q = \left[ \begin{matrix} \left(\lambda - 2 \varepsilon \right) \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) - 4 \lambda \varepsilon^2 & \quad 0 \\ 0 & \quad 2 \varepsilon \end{matrix} \right] Q=[(λ−2ε)(β+4ε2)−4λε20​02ε​]并能够一眼看出QQQ的特征根为
p1(Q)=(λ−2ε)(β+4ε2)−4λε2,p2(Q)=2εp_1(Q) = \left(\lambda - 2 \varepsilon \right) \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) - 4 \lambda \varepsilon^2, \\ p_2 (Q) = 2 \varepsilon p1​(Q)=(λ−2ε)(β+4ε2)−4λε2,p2​(Q)=2ε其中p2(Q)=2ε>0p_2 (Q) = 2 \varepsilon > 0p2​(Q)=2ε>0立即得证，为保证p1(Q)>0p_1(Q) > 0p1​(Q)>0，需要有
λ>2ε(β+4ε2)β(24)\lambda > \frac{2 \varepsilon \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right)}{\beta} \tag{24} λ>β2ε(β+4ε2)​(24)

3.5 李雅普诺夫函数的更新

在3.4一节中给出了保证矩阵QQQ正定性的条件。由于α,λ\alpha, \lambdaα,λ两参数是人为给出的，因此需要把这两个因素加入到李雅普诺夫函数中，构建新的李雅普诺夫函数：
V=V0+12γ1(λ−λ∗)2+12γ2(α−α∗)2(25)V = V_0 + \frac{1}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{1}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \tag{25} V=V0​+2γ1​1​(λ−λ∗)2+2γ2​1​(α−α∗)2(25)其中λ∗,α∗\lambda^*, \alpha^*λ∗,α∗为常数（未知）。
对其求导得下式(26)：
V˙=V˙0+1γ1(λ−λ∗)λ˙+1γ2(α−α∗)α˙≤−rV012+1γ1(λ−λ∗)λ˙+1γ2(α−α∗)α˙=−rV012+1γ1(λ−λ∗)λ˙+1γ2(α−α∗)α˙−ω12γ1∣λ−λ∗∣+ω12γ1∣λ−λ∗∣−ω22γ2∣α−α∗∣+ω22γ2∣α−α∗∣(26)\dot V = \dot V_0 + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha \\ \leq -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha \\ = -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \tag{26} V˙=V˙0​+γ1​1​(λ−λ∗)λ˙+γ2​1​(α−α∗)α˙≤−rV021​​+γ1​1​(λ−λ∗)λ˙+γ2​1​(α−α∗)α˙=−rV021​​+γ1​1​(λ−λ∗)λ˙+γ2​1​(α−α∗)α˙−2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣+2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣−2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣+2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣(26)根据(x2+y2+z2)12≤∣x∣+∣y∣+∣z∣\left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^{\frac{1}{2}} \leq \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right|(x2+y2+z2)21​≤∣x∣+∣y∣+∣z∣有
−rV012−ω12γ1∣λ−λ∗∣−ω22γ2∣α−α∗∣≤−[r2V0+ω122γ1(λ−λ∗)2+ω222γ2(α−α∗)2]12-r V_0 ^{\frac{1}{2}} - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \leq - \left[ r^2 V_0 + \frac{\omega_1^2}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{\omega_2^2}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} −rV021​​−2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣−2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣≤−[r2V0​+2γ1​ω12​​(λ−λ∗)2+2γ2​ω22​​(α−α∗)2]21​设r,ω1,ω2r, \omega_1, \omega_2r,ω1​,ω2​中最小的数为n=min⁡(r,ω1,ω2)n = \min(r, \omega_1, \omega_2)n=min(r,ω1​,ω2​)，则上式为
−rV012−ω12γ1∣λ−λ∗∣−ω22γ2∣α−α∗∣≤−[r2V0+ω122γ1(λ−λ∗)2+ω222γ2(α−α∗)2]12≤−n[V0+12γ1(λ−λ∗)2+12γ2(α−α∗)2]12=−nV12-r V_0 ^{\frac{1}{2}} - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \leq - \left[ r^2 V_0 + \frac{\omega_1^2}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{\omega_2^2}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \\ \leq - n \left[ V_0 + \frac{1}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{1}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \\ = -n V^{\frac{1}{2}} −rV021​​−2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣−2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣≤−[r2V0​+2γ1​ω12​​(λ−λ∗)2+2γ2​ω22​​(α−α∗)2]21​≤−n[V0​+2γ1​1​(λ−λ∗)2+2γ2​1​(α−α∗)2]21​=−nV21​于是代入(26)有
V˙≤−rV012+1γ1(λ−λ∗)λ˙+1γ2(α−α∗)α˙−ω12γ1∣λ−λ∗∣+ω12γ1∣λ−λ∗∣−ω22γ2∣α−α∗∣+ω22γ2∣α−α∗∣≤−nV12+1γ1(λ−λ∗)λ˙+1γ2(α−α∗)α˙+ω12γ1∣λ−λ∗∣+ω22γ2∣α−α∗∣(27)\dot V \leq -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \\ \leq -n V^{\frac{1}{2}}+ \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \tag{27} V˙≤−rV021​​+γ1​1​(λ−λ∗)λ˙+γ2​1​(α−α∗)α˙−2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣+2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣−2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣+2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣≤−nV21​+γ1​1​(λ−λ∗)λ˙+γ2​1​(α−α∗)α˙+2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣+2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣(27)由于λ∗,α∗\lambda^*, \alpha^*λ∗,α∗为常数，不妨假设恒有λ∗>λ,α∗>α\lambda^*>\lambda, \alpha^*>\alphaλ∗>λ,α∗>α。由于李雅普诺夫稳定性只要证明李雅普诺夫函数存在即可，因此总能找到这样的λ∗,α∗\lambda^*, \alpha^*λ∗,α∗，该假设是合理的。

此时式(27)为
V˙≤−nV12+1γ1(λ−λ∗)λ˙+1γ2(α−α∗)α˙+ω12γ1∣λ−λ∗∣+ω22γ2∣α−α∗∣=−nV12−1γ1∣λ−λ∗∣λ˙−1γ2∣α−α∗∣α˙+ω12γ1∣λ−λ∗∣+ω22γ2∣α−α∗∣=−nV12+∣λ−λ∗∣(ω12γ1−λ˙γ1)+∣α−α∗∣(ω22γ2−α˙γ2)(28)\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \\ = -n V^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\gamma_1} \left| \lambda - \lambda^* \right| \dot \lambda - \frac{1}{\gamma_2} \left| \alpha - \alpha^* \right| \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \\ = -n V^{\frac{1}{2}} + \left| \lambda - \lambda^* \right| \left( \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} - \frac{ \dot \lambda}{\gamma_1} \right) + \left| \alpha - \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) \tag{28} V˙≤−nV21​+γ1​1​(λ−λ∗)λ˙+γ2​1​(α−α∗)α˙+2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣+2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣=−nV21​−γ1​1​∣λ−λ∗∣λ˙−γ2​1​∣α−α∗∣α˙+2γ1​​ω1​​∣λ−λ∗∣+2γ2​​ω2​​∣α−α∗∣=−nV21​+∣λ−λ∗∣(2γ1​​ω1​​−γ1​λ˙​)+∣α−α∗∣(2γ2​​ω2​​−γ2​α˙​)(28)
此时若令
λ˙=ω1γ12(29)\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}} \tag{29} λ˙=ω1​2γ1​​​(29)即可使式(28)变为
V˙≤−nV12+∣α−α∗∣(ω22γ2−α˙γ2)=−nV12+η(30)\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \left| \alpha - \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) = -n V^{\frac{1}{2}} + \eta \tag{30} V˙≤−nV21​+∣α−α∗∣(2γ2​​ω2​​−γ2​α˙​)=−nV21​+η(30)其中
η=∣α−α∗∣(ω22γ2−α˙γ2)(31)\eta = \left| \alpha - \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) \tag{31} η=∣α−α∗∣(2γ2​​ω2​​−γ2​α˙​)(31)根据定理2，式(30)使得系统具有稳定性。

3.6 系统各部分总结

系统具有如下为标准柯西形式：
{x˙1=x2x˙2=f+g⋅u\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases} {x˙1​=x2​x˙2​=f+g⋅u​设计滑模面为
s=c1e1+e2s = c_1 e_1 + e_2 s=c1​e1​+e2​以及控制量uuu：
u=g−1(−f+x¨d−c1e2−λ∣s∣12sign(s)−α⋅sign(s))u = g^{-1} \left( -f + \ddot x_d - c_1 e_2 - \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign (s) - \alpha \cdot sign(s) \right) u=g−1(−f+x¨d​−c1​e2​−λ∣s∣21​sign(s)−α⋅sign(s))并设计自适应律为
λ˙=ω1γ12λ>2ε(β+4ε2)βα=λε+12(β+4ε2)\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}} \\ \lambda > \frac{2 \varepsilon \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right)}{\beta} \\ \alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) λ˙=ω1​2γ1​​​λ>β2ε(β+4ε2)​α=λε+21​(β+4ε2)则系统具有稳定性：
V˙≤−nV12+η\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \eta V˙≤−nV21​+η

4. 总结

就笔者而言，超螺旋滑模控制内容的精髓在于巧妙设计了状态量z1=∣s∣12sign(s)z_1 = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)z1​=∣s∣21​sign(s)，使得后续的导数与不等式计算大大简化，很多项可以巧妙消去。此外，尽管在(29)中不等式右边有正数项η\etaη的存在，系统依然可以在一定限度内保持稳定，原因在于我们证明了V˙≤−nV12≤0\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} \leq 0V˙≤−nV21​≤0而非传统的V˙≤0\dot V \leq 0V˙≤0，这更大程度上能够保证系统稳定性。

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