线性基(bzoj 2460: [BeiJing2011]元素)
线性基:
包含最多h个数(a1, a2, a3, …, ah),其中ak如果存在,那么最高位一定是第k位
性质①:线性基中任意集合xor出来的数的值域 = 原数列任意集合xor出的数的值域
性质②:线性基中任意集合xor出来的数都不一样
性质③:线性基中任意集合线性无关(可以理解为不可能异或出0)
性质④:线性基中任意元素异或,异或集合不变
构造方法:对于当前x,从最高位(第h位)开始扫,扫到第k位为1时,若ak不存在,那么ak = x并结束,否则 x = x^ak,这么操作之后,要不x被插入了线性基,要不某个时刻变为0
(PS:可以将线性基处理为行最简式矩阵)
过程模拟:
n = 5, a = {7, 1, 4, 3, 5}
初始矩阵: ->插入7后: ->插入1后:
0 0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
->插入4后:4的二进制是100,最高位是第三位,所以要先xor7 = 3(011),因为不存在最高位是第二位的,插入
1 1 1
0 1 1
0 0 1(其实到这里,就可以看出来后面的数字(最高位<=3的)都已经全部加不上了)
->插入3:3的二进制是011,最高位是第二位,所以要先xor3 = 0(这个数已经成0了,跳过)
->插入5:5的二进制是101,最高位是第三位,5^7 = 2,之后最高位是第二位:2^3 = 1,之后……变成0了
特殊:两个线性基的合并:直接将第二个线性基拆掉依次插入第一个线性基即可
下面统一规定:如果某个ak不存在,即线性基里不存在最高位为k的数,就默认ak=0(当然它肯定还是不存在)
线性基的作用:
①看起来很厉害
②查询n个数子集异或最大值:
处理出线性基后,从大到小扫,如果异或ak后更大,那么就异或
③判断某个数是否是某个子集的异或和:
设这个数为x,如果x的第k位是1,那么就异或ak,当然这个必须从高位到低位扫,最后结果为0说明可以被异或出来,当然x=0要特判!这个超好办只要某个元素没法插入线性基不就说明它被异或成0了嘛
④查询n个数子集异或第K小值(去重后):
先修改线性基,使其为行最简式矩阵,也就是对于每一位i,最多只有一个数满足第i位是1。(这个很简单:对于ak,如果ai满足i>k,且ai第k为1,那么ai = ai^ak)
之后将K转成二进制,初始化ans=0,如果K的第k位是1,就将ans异或上线性基里第k小的元素(不是ak)
这个可以用拟阵证明
原题请见:HDU 3949
其它线性基基础练习:
Codeforces Round #448 (Div. 2): C. Square Subsets
BZOJ 2844: albus就是要第一个出场
难题练习(真的很难):
BZOJ 2115: [Wc2011] Xor
BZOJ 3811: 玛里苟斯
2460: [BeiJing2011]元素
Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 1650 Solved: 857
[Submit][Status][Discuss]
Description
相传,在远古时期,位于西方大陆的 Magic Land 上,人们已经掌握了用魔法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到,一个法杖的法力取决于使用的矿石。
一般地,矿石越多则法力越强,但物极必反:有时,人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石,却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了,从而无法炼制出法杖,这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地,如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石,那么一定会发生“魔法抵消”。
后来,随着人们认知水平的提高,这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后,著名法师 Dmitri 发现:如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号(编号为正整数,称为该矿石的元素序号),那么,一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集,那些矿石的元素序号按位异或起来为零。 (如果你不清楚什么是异或,请参见下一页的名词解释。 )例如,使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”,因为这两种矿石的元素序号相同,异或起来为零。
并且人们有了测定魔力的有效途径,已经知道了:合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值,并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
现在,给定你以上的矿石信息,请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多有多大的魔力。
Input
第一行包含一个正整数N,表示矿石的种类数。
接下来 N行,每行两个正整数Numberi 和 Magici,表示这种矿石的元素序号
和魔力值。
Output
仅包一行,一个整数:最大的魔力值
Sample Input
Sample Output
因为线性基是线性无关的,全部异或起来不等于0
所以这题就是让你构造出一个线性基,使得线性基中所有元素的总价值最高
就和bzoj 3105这题很像
直接将所有元素从大到小排序,然后依次加入线性基中,最后生成的线性基总价值一定最高
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
typedef struct Res
{LL x;int val;bool operator < (const Res &b) const{if(val>b.val)return 1;return 0;}
}Res;
Res s[1005];
LL p[66];
int main(void)
{int n, i, j, ans;scanf("%d", &n);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%d", &s[i].x, &s[i].val);sort(s+1, s+n+1);ans = 0;for(i=1;i<=n;i++){for(j=62;j>=0;j--){if(s[i].x&(1ll<<j)){if(p[j]==0){p[j] = s[i].x;ans += s[i].val;break;}elses[i].x ^= p[j];}}}printf("%d\n", ans);return 0;
}
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