[BZOJ]2460: [BeiJing2011]元素线性基+贪心

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相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔
法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。
后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来为零。（如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释。）例如，使用两个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起来为零。并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。
现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多
有多大的魔力。

题解：

按照magic从大到小排序后，再弄线性基，就能保证最大。至于如何保证没有子集异或起来为0，这是线性基的性质，简要证明：用反证法，假设线性基中

a1 xor a2 xor a3...... xor an=0

a_1\ xor\ a_2\ xor\ a_3......\ xor\ a_n=0那么得到：

a2 xor a3...... xor an=a1

a_2\ xor\ a_3......\ xor\ a_n=a_1这样这个 a1 a_1是没有意义的，与线性基的基本性质不符合，得证。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int Maxn=1010;
int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
LL b[62];
int n,ans=0;
struct A{LL num;int ma;}a[Maxn];
bool cmp(A a,A b){return a.ma>b.ma;}
int main()
{memset(b,0,sizeof(b));n=read();for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%d",&a[i].num,&a[i].ma);sort(a+1,a+1+n,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=60;j>=0;j--){if((a[i].num>>j)&1){if(!b[j]){b[j]=a[i].num,ans+=a[i].ma;break;}else a[i].num^=b[j];}}}printf("%d",ans);
}

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