范德蒙德行列式结构

D n = ∣ 1 a 1 . . . ( a 1 ) n − 1 1 a 2 . . . ( a 2 ) n − 1 . . . . . . . . . . . . 1 a n . . . ( a n ) n − 1 ∣ D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1& a_1&... &({a_1})^{n-1}\\ 1&{a_2}&...&({a_2})^{n-1}\\ ...&...&...&...\\ 1&{a_n}&...&({a_n})^{n-1}\\ \end{array}\right|Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣​11...1​a1​a2​...an​​............​(a1​)n−1(a2​)n−1...(an​)n−1​∣∣∣∣∣∣∣∣​

D n = ∣ 1 1 . . . 1 a 1 a 2 . . . ( a n ) . . . . . . . . . . . . a 1 n − 1 a 2 n − 1 . . . ( a n ) n − 1 ∣ D_n=\left|\begin{array}{cccc} 1& 1&... &1\\ {a_1}&{a_2}&...&({a_n})\\ ...&...&...&...\\ {a_1}^{n-1}&{a_2}^{n-1}&...&({a_n})^{n-1}\\ \end{array}\right|Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣​1a1​...a1​n−1​1a2​...a2​n−1​............​1(an​)...(an​)n−1​∣∣∣∣∣∣∣∣​

而范德蒙德型行列式的特征就是有逐行(列)元素按幂递增(减)

e g : D n = ∣ a 1 n a 1 n − 1 b 1 . . . a 1 b 1 n − 1 b 1 n a 2 n a 2 n − 1 b 2 . . . a 2 b 2 n − 1 b 2 n . . . . . . . . . . . . . . . a n n a n n − 1 b n . . . a n b n n − 1 b n n a n + 1 n a n + 1 n − 1 b n + 1 . . . a n + 1 b n + 1 n − 1 b n + 1 n ∣ eg:D_n=\left|\begin{array}{cccc} a_{1}^n& a_{1}^{n-1}b_1&... &a_1b_1^{n-1}&b_1^n\\ a_{2}^n&a_{2}^{n-1}b_2&...&a_2b_2^{n-1}&b_2^n\\ ...&...&...&...&...\\ a_{n}^n&a_{n}^{n-1}b_n&...&a_nb_n^{n-1}&b_n^n\\ a_{n+1}^n&a_{n+1}^{n-1}b_{n+1}&...&a_{n+1}b_{n+1}^{n-1}&b_{n+1}^n \end{array}\right|eg:Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1n​a2n​...ann​an+1n​​a1n−1​b1​a2n−1​b2​...ann−1​bn​an+1n−1​bn+1​​...............​a1​b1n−1​a2​b2n−1​...an​bnn−1​an+1​bn+1n−1​​b1n​b2n​...bnn​bn+1n​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

S o l u t i o n SolutionSolution: 将每行都提出 a i n , i = 1... n + 1 a_i^{n},i=1...n+1ain​,i=1...n+1倍，得：

D n = ∏ i = 1 n + 1 a i n ∣ 1 b 1 a 1 . . . ( b 1 a 1 ) n − 1 ( b 1 a 1 ) n 1 b 2 a 2 . . . ( b 2 a 2 ) n − 1 ( b 2 a 2 ) n . . . . . . . . . . . . . . . 1 b n a n . . . ( b n a n ) n − 1 ( b n a n ) n 1 b n + 1 a n + 1 . . . ( b n + 1 a n + 1 ) n − 1 ( b n + 1 a n + 1 ) n ∣ D_n=\prod_{i=1}^{n+1}a_i^n\left|\begin{array}{cccc} 1& \frac{b_1}{a_1}&... &(\frac{b_1}{a_1})^{n-1}&(\frac{b_1}{a_1})^{n}\\ 1&\frac{b_2}{a_2}&...&(\frac{b_2}{a_2})^{n-1}&(\frac{b_2}{a_2})^{n}\\ ...&...&...&...&...\\ 1&\frac{b_n}{a_n}&...&(\frac{b_n}{a_n})^{n-1}&(\frac{b_n}{a_n})^{n}\\ 1&\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}&...&(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^{n-1}&(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^{n} \end{array}\right|Dn​=i=1∏n+1​ain​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​11...11​a1​b1​​a2​b2​​...an​bn​​an+1​bn+1​​​...............​(a1​b1​​)n−1(a2​b2​​)n−1...(an​bn​​)n−1(an+1​bn+1​​)n−1​(a1​b1​​)n(a2​b2​​)n...(an​bn​​)n(an+1​bn+1​​)n​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

上式即为范德蒙德行列式，所以通式为：

D n = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n + 1 ( a i b j − b i a j ) D_n=\prod_{1\le iDn​=1≤i

tips:矩阵的行列式

几何意义：体积的变换因子(所以和向量与向量的模的关系差不多)

拆分的计算方法

在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式。

如果k阶子式A在行列式D中的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk。则要乘上

( − 1 ) ∑ i + j ( - 1 ) ^ {\sum i+j }(−1)∑i+j

上述定义对于分块的情况任然试用。

逆序数的计算方法(直接展开)：要背过二阶的计算方法

(行列式最基本的几何意义是由各个坐标轴上的有向线段所围起来的所有有向面积或有向体积的累加和。这个累加要注意每个面积或体积的方向或符号，方向相同的要加，方向相反的要减，因而，这个累加的和是代数和。)

另外有了行列式，就可用克莱姆法则的方式去解线性方程组。

一些参考：

https://www.cnblogs.com/tsingke/p/10671318.html

逆序数