线性代数行列式计算之升阶法
线性代数行列式计算之升阶法
声明与简介
线性代数行列式计算之升阶法是利用行列式展开式的性质(行列式等于某一行或列乘其对应的代数余子式)在原有的行列式上增加1行或列1和0,增加之后方便消除其它行或列,子行列式化成三角形或者更容易求的其它行行列式,最终达到降阶的目的。
升阶法
配1 1元素法
计算n阶行列式:
#1 思路
Step1 先观察行列式的特点,再整理思路
Step2 以第1列为轴,我们可以给行列式加上全为1的1列,对应行补充为0。
Step3 思路形成,通过之前介绍的方法对第2、3、4、5列进行消除,最后再通过行列式展开。
#2 实操
Step1:升阶,配出新的行和列,此行列式和原行列式值相同。见下图:
Step2: 保持第1列,行列式乘以倍数消除其它列(其它列部分元素化为0)。详细步骤见下图:
结果为:
Step3: 目前行列式里出现不少为0的元素,可以根据行列式展开的定义,沿第1列展开。
如下仅演示第1列第3行的元素展开,第1列的其它行类似。
该元素对应的代数余子式为:
,同理求出其它第1列其它元素的代数余子式并相加。
Step4:最终结果为:
配1 特定元素法
计算n阶行列式
#1 思路
Step1 先观察行列式的特点,再整理思路
Step2 观察行列式不难发现如下规律:
第1行的每1列都有公因子 ,而第2行的每1列都有公因子
如果能构造合适的新行,那么就可以很方便的消除这些元素,进而降阶并求出最终结果。
#2 实操
Step1:有上述思路,可通过升阶法构造出新的行列式:
Step2: 针对新的行列式做化简、消除。
结果为:
Step3:针对上式再做行列式展开,此时保持第1列不变,剩余每列乘 (i从1到n)加到第1列上去进行消除。
结果为:
Step4:整理后得最终结果
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