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简介：行列式计算 7 种技巧 7 种手段

编者 :Castelu

【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象 ,是线性代数中的一个最基本 ,最常用的

工具 ,记为 det(A). 本质上 ,行列式描述的是在 n 维空间中 ,一个线性变换所形成的平行多

面体的体积 ,它被广泛应用于解线性方程组 ,矩阵运算 ,计算微积分等 .鉴于行列式在数

学各领域的重要性 ,其计算的重要性也不言而喻 ,因此 ,本人结合自己的学习心得 ,将几

种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此 ,供已具有行列式学习基础的读者阅读

一 .7 种技巧 :

【技巧】 所谓行列式计算的技巧 ,即在计算行列式时 ,对已给出的原始行列式进行化简 ,使之转

化成能够直接计算的行列式 ,由此可知 ,运用技巧只能化简行列式 ,而不能直接计算出行列式

技巧 1:行列式与它的转置行列式的值相等 ,即 D=D T

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

n n

n n

n n nn n n nn

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

技巧 2:互换行列式的任意两行 (列),行列式的值将改变正负号

11 12 1 21 22 2

21 22 2 11 12 1

1 2 1 2

n n

n n

n n nn n n nn

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

技巧 3:行列式中某一行 (列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

1 11 1 12 1 1 11 12 1

2 21 2 22 2 2 21 22 2

1

1 2 1 2

n n

n

n n

n

i

n n n n n nn n n nn

b a ba b a a a a

b a b a b a a a a b

b a b a b a a a a

技巧 4:行列式具有分行 (列)相加性

11 12 1 11 12 1 11 12 1

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

n n n

t t t t tn tn t t tn t t tn

n n nn n n nn n n nn

a a a a a a a a a

b c b c b c b b b c c c

a a a a a a a a a

技巧 5:将行列式的某一行 (列)的各元素乘以同一数 k 后加到另一行 (列 )对应的元素上 ,行列式

的值不变

11 12 1 11 12 1

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

n n

s s sn s t s t sn tn

t t tn t t tn

n n nn n n nn

a a a a a a

a a a a ka a ka a ka

a a a a a a

a a a a a a

技巧 6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积

11 1

11 1 11 1

1

11 1 11 1

1 1

1 1

0 0

0 0

m

m n

m mm

m n

m mm n nn

n nm n nn

a a

a a b b

a a

c c b b a a b b

c c b b

技巧 7:[拉普拉斯按一行 (列)展开定理 ] 行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其对应的代

数余子式乘积之和

1 1

( 1,2, , ) ( 1,2, , )

n n

ik ik kj kj

k k

D a A i n a A j n

二 .7 种手段 :

【手段】所谓行列式计算的手段 ,即在计算行列式时 ,观察已给出的原始行列式或进行化简后

的行列式 ,只要它们符合已知的几种行列式模型 ,就可以直接计算出这些行列式

手段 1:对于 2 阶行列式和 3 阶行列式 ,可以直接使用对角线法则进行计算

11 12

11 22 12 21

21 22

a a a a a a

a a ,

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31

31 32 33

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

手段 2:对于 4 阶以上的行列式 ,若行列式中有很多元素为零 ,则根据定义进行计算较为方便 ,

否则较为复杂 (常见于计算机程序和数学软件 )

定义 : 1 2

1 2

1 2

11 12 1

21 22 2 ( )

1 2

1 2

( 1) n

n

n

n

n p p p

p p np

p p p

n n nn

a a a

a a a

a a a

a a a

运用数学软件 Matlab 按定义计算 4 阶行列式 :

>> syms a b c d e f g h i j k l m n o p

>> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p]

A =

[ a, b, c, d]

[ e, f, g, h]

[ i, j, k, l]

[ m, n, o, p]

>> det(A)

ans = ... 更多>>