数学建模三大类模型适用场景及建模方法（纯干货）

一，评价类算法

1，层次分析法

●基本思想:

●基本步骤:

●优点:

●缺点

●适用范围:

●改进方法:

2，灰色综合评价法（灰色关联度分析）

●基本思想:

●基本步骤:

●优点:

●缺点:

●适用范围:

●改进方法:

3，模糊综合评价法

●基本思想:

●基本步骤:

●优点:

●缺点:

●应用范围:

●改进方法:

4，BP神经网络综合评价法

●基本思想:

●优点:

●缺点:

●适用范围:

●改进方法:

二，预测类算法

1，灰色预测模型

●基本思想:

●基本步骤:

●优点:

●缺点:

●适用范围:

2，回归预测方法

●优点:

●缺点:

●适用范围:

3，时间序列分析法

●建模流程:

●适用范围:

●优点:

●缺点:

4，微分方程

●微分方程模型步骤:

●优点:

●缺点:

●适用范围:

三，优化类算法

何谓最优化问题?

哪三大类？？？

评价类，预测类和优化类

一，评价类算法

1，层次分析法

●基本思想:

●是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层，并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序，在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。

●基本步骤:

构建层次结构模型;构建成对比较矩阵;层次单排序及一致性检验(即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性) ;层次总排序及一致性检验(检验层次之间的一致性)。

●优点:

它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。从整体上看，AHP在复杂决策过程中引入定量分析，并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

●缺点

用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。

●适用范围:

●尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外，当遇到因素众多，规模较大的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。

●改进方法:

(1)成对比较矩阵可以采用德尔菲法（专家意见法）获得。
(2)如果评价指标个数过多(一般超过9个)，利用层次分析法所得到的权重就有-定的偏差，继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点，利用一定的方法，将各原始指标分层和归类，使得每易各类中的指标数少于9个。

2，灰色综合评价法（灰色关联度分析）

●基本思想:

●灰色关联分析的实质就是，可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致，反之，变化态势则相悖。由此可得出评价结果。

●基本步骤:

●建立原始指标矩阵;确定最优指标序列;进行指标标准化或无量纲化处理;求差序列、最大差和最小差;计算关联系数;计算关联度。

●优点:

●是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型，是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型，该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题，可以排除人为因素带来的影响，使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单，通俗易懂，易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理，可用原始数据进行直接计算，可靠性强;评价指标体系可以根据具体情况增减;无需大量样本，只要有代表性的少量样本即可。

●缺点:

●要求样本数据且具有时间序列特性;只是对评判对象的优劣做出鉴别，并不反映绝对水平，故基
于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。

●适用范围:

●对样本量没有严格要求，不要求服从任何分布，适合只有少量观测数据的问题;应用该种方法进
行评价时，指标体系及权重分配是一个关键的题，选择的恰当与否直接影响最终评价结果。

●改进方法:

●(1)采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。
●(2)结合TOPSIS法:不仅关注序列与正理想序列的关联度，而且关注序列与负理想序列的关联度,
依据公式计算最后的关联度。

3，模糊综合评价法

●基本思想:

●是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级(或称为评语集)状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数评判指标，再据此排序择优。

●基本步骤:

●确定因素集、评语集;构造模糊关系矩阵;确定指标权重进行模糊合成和做出评价。

●优点:

●数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评价模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级，结果包含的信息量丰富。评判逐对进行，对被评对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法，因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。

●缺点:

●并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题，隶属函数的确定还没有系统的方法，而且
合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断，由于各因素权重的确定带
有一定的主观性，因此，总的来说，模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。

●应用范围:

●广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于指标选取因素、因素的权
重分配和综合评价的合成算子等。

●改进方法:

●采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

4，BP神经网络综合评价法

●基本思想:

●是一种交互式的评价方法，它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值，直到用户满意为止。因此，一般来说，人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。

●优点:

●神经网络具有自适应能力，能对多指标综合评价问题给出一个客观评价，这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中，传统的权重设计带有很大的模糊性，同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移，各指标对其对应题的影响程度也可能发生变化，确定的初始权重不一定符合实际情况。再者，考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统，必须建立权重的学习机制，这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性，采用神经网络原理可对变量进行贡献分析，进而剔除影响不显著和不重要的因素，以建立简化模型,可以避免主观因素对变量选取的干扰。

●缺点:

●ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式，权值不能解释为一种回归系数，也不能用来分析因果关系，目前还不能从理论.上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本，精度不高，应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性，人们只能借助计算机进行处理，而这方面的商品化软件还不够成熟。

●适用范围:

●神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性，能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中，无需考虑输入因子之间的权系数，ANN通过输入值与期望值之间的误差比较，沿原连接权自动地进行调节和适应，因此该方法体现了因子之间的相互作用。

●改进方法:

●采用组合评价法:对用其它评价方法得出的结果，选取一部分作为训练样本，一部分作为待测样本进行检验，如此对神经网络进行训练，知道满足要求为止，可得到更好的效果。

二，预测类算法

1，灰色预测模型

●基本思想:

●灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某- -时刻的特征量，或达到某特征量的时间。

●基本步骤:

●1)数据检验与处理，判断数据列的级比是否都落在可容覆盖内，从而判断已知该数据列是否可进行灰色预测; 2)根据预测算法建立灰色模型得到预测值; 3)检验预测值----残差检验、级比偏差值检验; 4)给出预测预报即结论。

●优点:

●在处理较少的特征值数据，不需要数据的样本空间足够大，就能解诀历史数据少、序列的完.
整性以及可靠性低的问题，能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列。

●缺点:

●只适用于中短期的预测，只适合近似于指数增长的预测。

●适用范围:

●该模型使用的不是原始数据的序列，而是生成的数据序列。核心体系是Grey Model. 即对原
始数据作累加生成(或其他处理生成)得到近似的指数规律再进行建模的方法。

2，回归预测方法

●回归预测方法是根据自变量和因变量之间的相关关系进行预测的。自变量的个数可以一个或多个，根据自变量的个数可分为一元回归预测和多元回归预测。同时根据自变量和因变量的相关关系，分为线性回归预测方法和非线性回归方法。回归问题的学习等价于函数拟合:选择一条函数曲线使其很好的拟合已知数据且能很好的预测未知数据。

●优点:

●1)回归分析法在分析多因素模型时，更加简单和方便; 2)运用回归模型，只要采用的模型和数据相同，通过标准的统计方法可以计算出唯一的结果,但在图和表的形式中,数据之间关系的解释往往因人而异,不同分析者画出的拟合曲线很可能也是不一样的; 3)回归分析可以准确地计量各个因素之间的相关程度与回归拟合程度的高低，提高预测方程式的效果;

●缺点:

有时候在回归分析中，选用何种因子和该因子采用何种表达式只是一种推测，这影响了因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些情况下受到限制

●适用范围:

●回归分析适合自变量和因变量之间具有一定的相关关系，并且该关系可以通过线性和非线性函数进行拟合

3，时间序列分析法

●ARIMA模型的全称叫做自回归移动平均模型，全称是(AR |MA，Autoregressive Integrated Moving Average Model)。 i也记作AR |MA(p, d, q)，是统计模型(statistic model)中最常见的一种用来进行时间序列预测的模型。

●建模流程:

●1)导入实验数据。2)确定ARMA模型阶数。3)残差检验。4)给出结果

●适用范围:

●根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测市场未来的发展趋势。时间序列在时间序列分析预测法处于核心位置。

●优点:

●一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。DanieI检验平稳性。自动回归AR(Auto regressive) 和移动平均MA(MovingAverage)预测模型，预测精度相对较高，适合中长期预测问题

●缺点:

●当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差，时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好。

4，微分方程

●微分方程模型是我们在日常生活中比较常见并且比较重要的一种模型，我们在平时的课程中时经常会涉及到这种题型，像比如我们所遇到的牛顿第二定律就常遇到相关的问题。

●微分方程模型步骤:

●1) 确定实际的量(所有要求的自变量、未知函数、必要参数)并确定坐标系。
●2)找出这些量所存在的基本关系(物理、化学，生物、几何等关系)。
●3)运用这些关系列出方程和定解条件。

●优点:

●是短、中、长期的预测都适合。如传染病的预测模型、经济增长(或人口)的预测模型Lanchester战争预测模型。

●缺点:

●反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到

●适用范围:

●适用于基干相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律,列出方程，求解的结果就是问题的答案。

三，优化类算法

何谓最优化问题?

●所谓最优化，即从所有可能方案中选择最合理的一种以达到最优目标的学科。在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量一下是否达到了最优(比如基金人投资)。在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获(比如保险)。
●在数学中，一个优化问题有三个要素:决策变量、目标函数、约束条件。优化问题是指，在满足约束的情况下，调整决策变量，使得目标函数的值最小(或最大)。

●粒子群算法多用于决策变量为连续变量的优化问题，(其收敛速度快，但其跳出局部最优解的能力
相对较弱。

●遗传算法(GeneticAIgorithm)是模拟生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的
计算模型，是一-种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。其主要用于决策变量为离散变量的
优化问题，比如整数规划、0-1规划等。其收敛速度相对较慢，但跳出局部最优解的能力较强。

●模拟退火算法脱胎于自然界的物理过程，来源于固体退火原理，是- -种基于概率的算法，将固体
加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐
冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

●模拟退火算法相对来说，对决策变量类型没有约束，不管是连续变量还是离散变量都可以进行求
解，且跳出局部最优解的能力很好，容易找到全局最优解，其缺点是只能单线程作业，不能展开
大范围搜索，当决策变量维度较高时，算法收敛速度很慢。