数学建模--优化类模型
目录
一、根据目标函数约束条件类型分类
1、线性规划
①线性规划模型的一般形式
②用MATLAB优化工具箱解线性规划
③模型分析
2、非线性规划
①非线性规划的基本概念
②非线性规划的基本解法
③二次规划
④一般非线性规划
二、控制变量类型分类
1、整数规划
①matlab编程
②模型求解
2、混合整数规划（MIP）
①matlab语法
②模型案例
3、0-1规划
①应用范围
②案例分析
③matlab代码如下：
三、其他分类方法
1、单目标规划与多目标规划
①理想点法
②线性加权和法
③最大最小值法
④目标规划法
⑤模糊数学求解方法
2、动态规划与静态规划
①动态规划思路
②最短路径规划
3、随机规划与确定规划
①随即规划
②案例分析
一、根据目标函数约束条件类型分类
1、线性规划
①线性规划模型的一般形式
目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。
②用MATLAB优化工具箱解线性规划
③模型分析
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：
a=0;
while(1.1-a)>1
c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185];
Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065];
beq=[1];
A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026];
b=[a;a;a;a];
vlb=[0,0,0,0,0];
vub=[];
[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);
a
x=x'
Q=-val
plot(a,Q,'.')
axis([0 0.1 0 0.5])
hold on
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266
a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019
a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112
a = 0.0100 x = 0 0.4000 0.5843 0 0 Q =0.2190
a = 0.0200 x = 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518
a = 0.0400 x = 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.2673
2、非线性规划
①非线性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数,则最优化问题就叫做非线性规划问题
②非线性规划的基本解法
罚函数法：SUTM外点法、SUTM内点法（障碍罚函数法）
近似规划法
③二次规划
用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1．x=quadprog(H,C,A,b);
2．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);
3．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);
4．x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);
5．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);
6．[x,fval]=quaprog(…);
7．[x,fval,exitflag]=quaprog(…);
8．[x,fval,exitflag,output]=quaprog(…);
写成标准式：
H=[1 -1; -1 2];
c=[-2 ;-6];
A=[1 1; -1 2];
b=[2;2];
Aeq=[];
beq=[];
VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
运算结果为：
x = 0.6667 1.3333
z = -8.2222
④一般非线性规划
1、首先建立M文件fun.m，用来定义目标函数F（X）:
2、若约束条件中有非线性约束：
G(X)或Ceq(X)=0，则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):
function [G,Ceq]=nonlcon(X)
G=…
Ceq=…
3、 建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本格式如下：
(1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)
(2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)
(3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)
(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
(6) [x,fval]= fmincon(…)
(7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…)
(8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
4、例题解释
写成标准式：
先建立M-文件 fun3．m:
function f=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2再建立主程序youh2．m：
x0=[1;1];A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0]; VUB=[];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)运行结果为：
x = 0．7647 1．0588fval = -2．0294
二、控制变量类型分类
1、整数规划
①matlab编程
利用Matlab的线性规划指令：
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
编写计算整数规划函数，输入与输出与上述指令相同
分枝定界法（递归实现）
function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e)%整数规划求解函数 intprog()% 其中 f为目标函数向量% A和B为不等式约束 Aeq与Beq为等式约束% I为整数约束% lb与ub分别为变量下界与上界% x为最优解，fval为最优值%例子:% maximize 20 x1 + 10 x2% S.T.% 5 x1 + 4 x2 <=24% 2 x1 + 5 x2 <=13% x1, x2 >=0% x1, x2是整数% f=[-20, -10];% A=[ 5 4; 2 5];% B=[24; 13];% lb=[0 0];% ub=[inf inf];% I=[1,2];% e=0.000001;% [x v s]= IP(f,A,B,I,[],[],lb,ub,,e)% x = 4 1 v = -90.0000 s = 1% 控制输入参数if nargin < 9, e = 0.00001;if nargin < 8, ub = [];if nargin < 7, lb = [];if nargin < 6, Beq = [];if nargin < 5, Aeq = [];if nargin < 4, I = [1:length(f)];end, end, end, end, end, end%求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解options = optimset('display','off');[x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);if exitflag < 0disp('没有合适整数解');x = x0;fval = fval0;status = exitflag;return;else%采用分支定界法求解bound = inf;[x,fval,status] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);end子函数function [newx,newfval,status,newbound] = branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e)% 分支定界法求解整数规划% f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub与线性规划相同% I为整数限制变量的向量% x为初始解，fval为初始值options = optimset('display','off');[x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);%递归中的最终退出条件%无解或者解比现有上界大则返回原解if status0 <= 0 || fval0 >= boundnewx = x;newfval = fval;newbound = bound;status = status0;return;end%是否为整数解,如果是整数解则返回intindex = find(abs(x0(I) - round(x0(I))) > e);if isempty(intindex)newx(I) = round(x0(I));newfval = fval0;newbound = fval0;status = 1;return;end%当有非整可行解时，则进行分支求解%此时必定会有整数解或空解%找到第一个不满足整数要求的变量n = I(intindex(1));addA = zeros(1,length(f));addA(n) = 1;%构造第一个分支 x<=floor(x(n))A = [A;addA];B = [B,floor(x(n))];[x1,fval1,status1,bound1] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);A(end,:) = [];B(:,end) = [];%解得第一个分支，若为更优解则替换，若不是则保持原状status = status1;if status1 > 0 && bound1 < boundnewx = x1;newfval = fval1;bound = fval1;newbound = bound1;elsenewx = x0;newfval = fval0;newbound = bound;end%构造第二分支A = [A;-addA];B = [B,-ceil(x(n))];[x2,fval2,status2,bound2] = branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e); A(end,:) = [];B(:,end) = [];%解得第二分支，并与第一分支做比较，如果更优则替换if status2 > 0 && bound2 < boundstatus = status2;newx = x2;newfval = fval2;newbound = bound2;end②模型求解
利用上述指令求解下列问题：
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量
|
小型 |
中型 |
大型 |
现有量 |
|
|
钢材（吨） |
1 |
2 |
5 |
1000 |
|
劳动时间（小时） |
250 |
125 |
150 |
120000 |
|
利润（万元） |
3 |
5 |
12 |
1、若每月生产的汽车必须为整车，试制订月生产计划，使工厂的利润最大？
f = [-3 -5 -12];
A = [1 2 5;250 125 150];
B = [1000 120000];
I = [1:length(f)];
lb = [0 0 0];
[x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,[],[],lb)答案为 x =307 344 1 fval = -2653 status =1
2、如果生产某一类型汽车，则至少要生产50辆，那么最优的生产计划应作何改变？
lb = [50 50 50]
答案为 x =350 200 50 fval =-2.6500e+003 status =1
2、混合整数规划（MIP）
①matlab语法
x = intlinprog(f, intcon,A,b)
x = intlinprog(f , intcon,A,b,Aeq, beq)
X=intlinprog(f , intcon, A, b, Aeq, beq,1b,ub)
x = intlinprog(f, intcon,A, b,Aeq, beq, lb, ub,x0)
x = intlinprog(f, intcon, A, b,Aeq, beq,lb, ub, x0, options)
x = intlinprog(problem)
[x, fval, exitflag,output] = intlinprog(__)
f、x、intcon、lb、beq、Ib和ub是向量，A和Aeq是矩阵
②模型案例
f = [8;1];%确定目标函数系数
intcon = 2;%理解为两个受x受到整数限制
A = [-1,-2;-4,-1;2,1];%构造不不等式左边系数矩阵
b = [14;-33;20];%构造不等式右边矩阵
x = intlinprog(f,intcon,A,b)
%案例二
clear all
clc
% 编写目标函数向量和由整数变量组成的向量。
f = [-3;-2;-1];
intcon = 3;
% 编写线性不等式约束。
A = [1,1,1];
b = 7;
% 编写线性等式约束。
Aeq = [4,2,1];
beq = 12;
% 编写边界约束。
lb = zeros(3,1);%等效于lb=[0;0;0]
ub = [Inf;Inf;1]; %强制x(3)为一个固定1
%调用intlinprog
x = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
当x2 = 5 , x3 = 1 , x1 = 0 最值为−12
3、0-1规划
①应用范围
0-1线性规划模型一般被用于指派问题上面
②案例分析
[x,f]= L01p_e(c,A,b,N)用枚举法求解下列
0-1线性规划问题
min f=c'*x, s.t. A*x<=b,x的分量全为整数0或1,
其中N表示约束条件 Ax ≤ b中的前N个是等式，N= 0时可以省略。
返回结果x是最优解，f是最优解处的函数值。
例 max f=3x1+5x2+2x3+4x4+2x5+3x6
s.t. 8x1+13x2+6x3+9x4+5x5+7x6<=24, x1,…,x6均为0或1
求解
c=-[3,5,2,4,2,3];a=[8,13,6,9,5,7];b=24;
x=L01p_e(c,a,b)
L01p_e(c,a,b)
③matlab代码如下：
function [x,f]=L01p_e(c,A,b,N)
if nargin<4,N=0;end
c=c(:);b=b(:);
[m,n]=size(A);x=[];f=abs(c')*ones(n,1);i=1;
while i<=2^nB=de2bi(i-1,n)';t=A*B-b;t11=find(t(1:N,:)~=0);t12=find(t(N+1:m,:)>0);t1=[t11;t12];if isempty(t1)f=min([f,c'*B]);if c'*B==f,x=B;endendi=i+1;
end
0-1线性规划和整数规划的示例
f=[-6,-2,-3,-5];
A=[-3,5,-1,-6;1,1,1,-1;1,2,4,5;];
b=[-4,3,10];
intcon=[1,2,3,4];
lb=zeros(4,1);
ub=ones(4,1);
[x,y]=intlinprog(f,intcon,A,b,[],[],lb,ub);
x,y=-y
plot(x,'--ok');结果为：
三、其他分类方法
1、单目标规划与多目标规划
①理想点法
②线性加权和法
③最大最小值法
④目标规划法
⑤模糊数学求解方法
2、动态规划与静态规划
①动态规划思路
1、找到状态和选择，确定当前状态和转换
2、明确dp数组/或函数的定义，即dp数组保存了啥信息（dp数组一般是一维或二维）
3、寻找状态之间的关系，当前状态如何根据上一状态和一些已知信息得到（状态转换方程）
②最短路径规划
import matplotlib.pyplot as plt
import pylab as pl
import connmysql
import pandas as pdsql2 = "SELECT id, distance,duration FROM trafic"
checklist = connmysql.getdata(sql2)
ids=[]
for i in range(0,len(checklist)):ids.append(checklist[i][0])
time_dataframe = pd.DataFrame(columns=['distance','duration'], index=ids)
# print(time_dataframe)
for i in range(0,len(checklist)):id=checklist[i][0]time_dataframe.at[ids[i],'distance'] = float(checklist[i][1])#distancetime_dataframe.at[ids[i], 'duration'] = float(checklist[i][2] ) # distance
# id='100001-100002'
# print(time_dataframe.at[id,'distance'])
# print(time_dataframe.at['100001-100002','duration'])
# list=['100002','100003','100004','100005','100006']#基于动态规划求得最短路径，计算量会比较小，速度较快
list = ['100002', '100003', '100004', '100005', '100006']
# 基于动态规划求得最短路径，计算量会比较小，速度较快
routelist=[]
route_distance=[]
for j in range(0,len(list)-1):print('mm',j)print('he1', routelist)print('he2', route_distance)ids = []distances, routes = {}, {}for i in range(0, len(list)):if len(routelist)==0:#当里面还没有目标在时id = list[0] + '-'+list[i]if list[i]!=list[0]:ids.append(id)else:if list[i] not in routelist :#计算过的点不再重复计算id = routelist[j]+ '-'+list[i]ids.append(id)print('he3',ids)for k in range(0, len(ids)):distances[ids[k]] = time_dataframe.at[ids[k], 'distance']print('he4',distances)route1 = sorted(distances.items(), key=lambda item: item[1]) # 将最小距离取出来route_distance.append(route1[0])# routes[route1[0][0]] = route1[0][1] # key:100002-100006,values: 3929.0,,保存离最后一个点的最优路线print('he5',route1)a=route1[0][0].split('-')if a[0] not in routelist:routelist.append(a[0])if a[1] not in routelist:routelist.append(a[1])print('he6', routelist)
print('he',routelist)3、随机规划与确定规划
①随即规划
运用随机动态规划的分析方法，求解随机动态规划模型的最优解是一种比较常见的数学建模问题。例如，在实际应用中，经常会遇到某些多阶段决策过程中出现随机因素的情况，而动态规划的方法也可以处理这种随机性问题。
②案例分析
分析并假设
此问题中价格是一个随机变量，是按照某种已知的概率分布规律取值的。可以将采购期限内的5周看做5个阶段（即需要每周做一次决策，自然也可以每天做一次决策而将之更加细致地分为35个阶段，则问题便成了在每个阶段进行决策是否购进原料，以期使原料的采购价格的期望值达到最小。
在实际应用中，经常会遇到某些多阶段决策过程中出现随机因素的情况。用动态规划的方法也可以处理这种随机性问题。不过此时状态转移不能完全确定，而是按照某种已知的概率分布取值，具有这种性质的多阶段决策过程就称之为随机性的决策过程，此时运用的动态规划也就相应的被称为随机动态规划。
模型的建立和求解
结论与分析
由以上逆推计算得结果可知，最优的采购策略序列为{,,,,}u1u2u3u4u5。根据u1，u2，3u的表达式可知，在第1、2、3周时，若价格为500时，就应采购；而在价格为600或者700时则应采取等待观望的态度。
由u4的表达式得，在第4周，若价格为500或者600时就应该采购，而在价格为700时则等待观望。
若在前4周都采取了等待观望策略，则在第5周，无论什么价格都必须采购（u5=1）。
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