数学模型的分类

按模型的数学方法分：

几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等

按模型的特征分：

静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等

按模型的应用领域分：

人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。

按建模的目的分：

预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等

一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应

按对模型结构的了解程度分：

有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等

比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。

按比赛命题方向分：

国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目(离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)

数学建模十大算法

1、蒙特卡罗算法

(该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法)

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具)

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

(建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现)

4、图论算法

(这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备)

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法

(这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中)

6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

(这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用)

7、网格算法和穷举法

(当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具)

8、一些连续离散化方法

(很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的)

9、数值分析算法

(如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用)

10、图象处理算法

(赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理)

算法简介

1、灰色预测模型(必掌握)

解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。

满足两个条件可用：

①数据样本点个数少，6-15个

②数据呈现指数或曲线的形式

2、微分方程预测(高大上、备用)

微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中

无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。

3、回归分析预测(必掌握)

回归模型一般步骤：建立初始模型(线性还是非线性，多元还是一元等)，参数估计，统计分析，假设检验，区间估计，得到最终模型，使用回归模型预测。

求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化；

样本点的个数有要求：

①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小；

②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数；

③因变量要符合正态分布

4、马尔科夫预测(备用)

类似的名词有，马尔科夫链、马尔科夫模型、，马氏链模型等

一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率。

思考马尔科夫和元胞自动机之间的关系

5、时间序列预测(必掌握)

与马尔科夫链预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等

6、小波分析预测(高大上)

数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；可以做时间序列做不出的数据，应用范围比较广

7、神经网络预测(备用)

大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的办法

8、混沌序列预测(高大上)

比较难掌握，数学功底要求高

9、插值与拟合(必掌握)

拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别在于:拟合是已知点列，从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。

10、灰色关联分析法(必掌握)

与灰色预测模型一样，比赛不能优先使用

11、模糊综合评判(备用)

评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

12、主成分分析(必掌握)

评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强

主成分分析目的使利用降维的思想，将原本具有一定相关性的众多指标转化为少数几个综合指标。坐标变换提取主成分，将主成分表示为原始观察变量的线性组合。

优点：①消除评估指标之间的相关影响，指标间相关程度越高，主成分分析效果越好。②减少指标选择的工作量。③方差大小排序可舍去比较小的15%，节省工作量。

缺点：①提取的主成分前几个累计贡献率达到较高水平。②被提取的主成分必须能够给出有意义的解释。③因子符号不能有正有负，这样综合评价函数意义不明确。

13、层次分析法(AHP)(必掌握)

作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策，关键方法是建立成对比较矩阵。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。所需定量数据信息较少

14、数据包络(DEA)分析法(备用)

优化问题，对各省发展状况进行评判。通过明确地考虑多种投入的运用和多种产出的产生，它能够用来比较提供相似服务的多个服务单位之间的效率。一种线性规划模型，表示为产出对投入的比率。

15、秩和比综合评价法(高大上)

评价各个对象并排序，指标间关联性不强。

16、优劣解距离法(TOPSIS法)(备用)

多目标决策分析中，理想目标相似性的顺序选优技术。该法是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中的最优方案和最劣方案，然后获得某一方案与最优方案和最劣方案间的距离(用差的平方和的平方根值表示)，从而得出该方案与最优方案的接近程度，并以此作为评价各方案优劣的依据。

(刘继斌等在Topsis法中引入指标权重，用属性AHM赋权法求指标权重，再用Topsis法进行综合评价。结果显示基于属性AHM的Topsis综合评价既考虑了参评指标的重要性，又体现了Topsis法能充分利用数据资料的优点，原理简明，结果准确，使用方便。)

权重系数的选择：因子分析权数法(对每个指标计算共性因子的累积贡献率来定权)、信息量权数法(根据各评价指标包含的分辨信息来确定权数，采用变异系数法)、熵权法(根据指标变异性的大小来确定客观权重)、

17、投影寻踪综合评价法(高大上)

揉和多种算法，比如遗传算法、最优化理论等

18、方差分析、协方差分析等(备用)

方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；(1992年，作物生长的施肥效果问题)

协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲及初始情况。

21、线性规划、整数规划、0-1规划(必掌握)

(有约束，确定的目标)

比较简单，必须掌握

22、非线性规划与智能优化算法(智能算法至少掌握1-2个，其他的了解即可)

非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题

智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索算法、神经网络、粒子群等

23、多目标规划和目标规划(柔性约束，目标含糊，超过)(备用)

24、动态规划(备用)

25、复杂网络优化(多因素交错复杂)(备用，编程好的使用要掌握)

离散数学中经典的知识点——图论。

26、排队论与计算机仿真(高大上)

排队论包括、元胞自动机对编程能来要求较高，一般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用(这也是大部分队伍使用元胞自动机不获奖的最大原因)。

27、模糊规划(范围约束)

28、灰色规划(难)

29、图像处理(备用)

MATLAB图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。例如2013年国赛B题，2014网络赛B题。

30支持向量机

31多元分析

1、聚类分析(必掌握，参考19)

2、主成分分析(必掌握)

3、因子分析(必掌握)

4、判别分析

5、典型相关分析

6、对应分析

7、多维标度法

8、偏最小二乘回归分析

32、分类与判别

主要包括以下几种方法，

1、距离聚类(系统聚类)常用

2、关联性聚类(常用)

3、层次聚类

4、密度聚类

5、其他聚类

6、贝叶斯判别(统计判别方法)

7、费舍尔判别(训练的样本比较多)

8、模糊识别(分好类的数据点比较少)

33、关联与因果

1、灰色关联分析方法(样本点的个数比较少)

2、Sperman或kendall等级相关分析

3、Person相关(样本点的个数比较多)

4、Copula相关(比较难，金融数学，概率密度)

5、典型相关分析

(因变量组Y1234，自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？)

6、标准化回归分析

若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密

7、生存分析(事件史分析)难

数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响

8、格兰杰因果检验

计量经济学，去年的X对今年的Y有没影响