2.2 拓扑空间与连续映射
§2.2 拓扑空间与连续映射
本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.
注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.
现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．
定义2.2.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件：
（l）X，∈T ；
（2）若A，B∈T ，则A∩B∈T ；
（3）若则称 T是X的一个拓扑．
如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T）或X中的一个开集．即：A∈T A是开集
（此定义与度量空间的开集的性质一样吗）
经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．
现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．
定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，
）是X的一个拓扑．我们称
为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑
；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，
）
因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面
），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．
例2.2.1 平庸空间．
设X是一个集合．令T ={X，}．容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集
．
例2.2.2 离散空间．
设X是一个集合．令T =P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．
例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．
容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．
例2.2.4 有限补空间．
设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令
T ={U X|
是X的一个有限子集}∪{
}
先验证T是X的一个拓扑：
（1）X∈T (因为=
)；另外，根据定义便有
∈T．
（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时 是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．
（3）设．令
,显然有
如果，则
设任意选取
．这时
是X的一个有限子集，所以
根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．
例2.2.5 可数补空间．
设X是一个集合．令
T ={U X|
是X的一个可数子集}∪{
}
通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）T 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？
定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑 ，则称（X，P）是一个可度量化空间．
根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例2.2.3中给出的那个空间只含有三个点，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．
定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．
定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；
（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则 gof:X→Z也是连续映射．
证明（l），所以
连续．
（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射
这证明gof连续．
在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．
定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．
定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
（1）恒同映射：X→X是一个同胚；
（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；
（3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gof：X→Z也是一个同胚．
证明 以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理
l．5．3和定理1．5．4．
（l）是一个—一映射，并且
，都是连续的，从而
是同胚．
（2）设f：X→Y是一个同胚．因此f是一个—一映射，并且f和 都是连续的．于是
也是一个—一映射并且
和
也都是连续的，所以
也是一个同胚．
（3）设f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和
都是连续的．因此gof也是—一映射，并且gof和
都是连续的．所以gof是一个同胚．
定义2.2.6 设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．
粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．
定理2.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
（1）X与X同胚；
（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；
（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚．
证明从定理2.2.2直接得到．
根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．
拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．
至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．
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