赋范空间，度量空间，线性赋范空间，线性度量空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间，拓扑空间如何不被他们吓到？

函数空间

一、问题的提出

在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离
那么，什么是距离呢？
通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线

但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？
因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲线作为距离

再来看一张图

从A到B的距离又是多少呢？

显然不能计算直线距离，比较合理的距离，应该是走一个L字型（这里就不画出来了…）

两个向量之间的距离又该如何定义呢？

两条曲线之间的距离呢？

二、距离、范数

（向量的距离）

x=(x1,...,xn)x=(x1,...,xn) 到 y=(y1,...,yn)y=(y1,...,yn) 的距离

情形1：
d1(x,y)=(x1−y1)2+...+(xn−yn)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√d1(x,y)=(x1−y1)2+...+(xn−yn)2
情形2：
d2(x,y)=max{|x1−y1|,...,|xn−yn|}d2(x,y)=max{|x1−y1|,...,|xn−yn|}
情形3：
d3(x,y)=|x1−y1|+|xn−yn|d3(x,y)=|x1−y1|+|xn−yn|

其中d1d1是最常见的也就是中学所学的距离，而d3d3 则是天安门图中从A到B的距离

（曲线的距离）

注意这里只能取最大值，不能取最小值。一旦取了最小值，则任意两个有交点的曲线的距离都为0，显然，这样是有问题，所以只能去最大值

定义距离

看了那么多距离，我们如何定义呢？

则称d(x,y)d(x,y)是这两点之间的距离。

线性空间

有向量的加法和数乘
满足：
1. 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
2. 向量加法交换律：v + w = w + v；
3. 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；
4. 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；
5. 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
6. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；
7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v；
8. 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。

定义范数

定义：设

||x||是Rn的范数||x||是Rn的范数

若满足：

(1)||x||≥0,∀x∈Rn;||x||=0↔x=0;(1)||x||≥0,∀x∈Rn;||x||=0↔x=0;

(2)||αx||=|α|||x||,∀α∈R,x∈Rn;(2)||αx||=|α|||x||,∀α∈R,x∈Rn;

(3)||x+y||≤||x||+||y||,∀x,y∈Rn(3)||x+y||≤||x||+||y||,∀x,y∈Rn

注意：可以简单的看成到零点距离多了（2）；所以范数就是一个更加具体的距离！！！

我们接下来，有两个方向可以走，一个是在距离上面加东西，让距离更加具体化，另一种是在距离上减东西，让距离更加抽象画，像范数就是让距离更加具体化了

所以范数有如下情况：

注意：

由范数可以定义距离：

d(x,y)=||x−y||d(x,y)=||x−y||

但由距离不一定可以定义范数，例如：

||x||=d(0,x),但||αx||=d(0,αx)≠|α|||x||,||x||=d(0,x),但||αx||=d(0,αx)≠|α|||x||,

所以，一旦定义了抽象的距离，我们就必须习惯用定义去证明对错，而不能用中学的距离，来进行判断。

赋范空间、度量空间、线性赋范空间、线性度量空间

赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间
若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间

那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？
答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所以，我们才有了接下来的内容。

内积空间

赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为了克服这一缺陷，我们引入：内积
定义：

设(x,y)∈R，且满足：设(x,y)∈R，且满足：

（1）对称性；（1）对称性；

（2）对第一变元的线性性；（2）对第一变元的线性性；

（3）正定性；（3）正定性；

则称(x,y)(x,y) 为内积

所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是内积是线性性的充分条件【A->B，B不能->A就称为A是B的充分条件；类似的，B->A,A不能->B，则称A是B的必要条件】
举个栗子：
我们可以把内积定义为：(x,y)=∑Ni=1xiyi(x,y)=∑i=1Nxiyi
也可以定义为：(f,g)=∫∞0f(x)g(y)dx(f,g)=∫0∞f(x)g(y)dx

所以：内积可导出范数||x||2=(x,x);||x||2=(x,x);
在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间；
内积可在空间中建立欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几里得空间。

所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间

接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西

内积空间+完备性→Hilbert空间内积空间+完备性→Hilbert空间

线性赋范空间+完备性→Banach空间线性赋范空间+完备性→Banach空间

那么什么是完备性呢？
简单的说就是空间在极限运算中，取极限不能跑出去。所以，显然有理数集，无理数集不具有完备性。实数集具有完备性

拓扑空间

我们向更加抽象的地方走。
欧几里得几何学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。
例如：社交圈的描述；学号的指定是“连续”的；
所以所谓的拓扑空间实际上就是个圈子。

总结：任何空间，你永远问两件事：1.元素是什么 2.规则是什么；知道这两个就知道怎么描述一个空间。

所以最后的总结：
范数可以定义为“强化”了的距离；
内积是较距离和范数有更多内涵；
拓扑是“弱化”了的距离；

上海交通大学公开课：数学之旅 的笔记
自己写给自己看的，逻辑上不一定很连贯，如果有看的不清楚的地方，建议观看原版视频，链接如下：

Reference: http://open.163.com/movie/2013/3/T/0/M8PTB0GHI_M8PTBUHT0.html

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