没错，这个系列是我无法安心复习而使用记博客的方式来对拓扑学知识重点（考点）进行汇总总结。以尤承业老师的《基础拓扑学讲义》为基础。
第一节首先引入拓扑空间、度量空间等基础概念。

文章目录

0.前置知识（幂集和子集族）
- 幂集和子集族
1.拓扑空间
- 1.1 拓扑空间定义
- 1.2 闭集
- 1.3 “特殊”的拓扑
2.度量拓扑
- 2.1 度量空间的定义
- 2.2 度量拓扑
3.子空间
4.拓扑空间的几个基本概念
- 4.1 邻域、内点与内部
- 4.2 聚点与闭包
- 4.3 稠密与可分拓扑空间
- 4.4 序列收敛

0.前置知识（幂集和子集族）

幂集和子集族

设XXX为非空集合，记2X2^X2X是XXX的全体子集（包含XXX及空集∅\varnothing∅）的集合，称为XXX的幂集。把2X2^X2X的子集（即以XXX的一部分子集为成员的集合）称为XXX的子集族。

1.拓扑空间

1.1 拓扑空间定义

设XXX为一非空集合，XXX的一个子集族τ\tauτ称为XXX的一个拓扑，如果它满足下列三条拓扑公理：
（1）X，∅X，\varnothingX，∅都包含在τ\tauτ中。
（2）τ\tauτ中任意个成员的并集仍在τ\tauτ中。
（3）τ\tauτ中有限个成员的交集仍在τ\tauτ中。
（3′3'3′)（3）的等价表述：τ\tauτ中两个成员的交集仍在τ\tauτ中。
集合XXX和它的一个拓扑τ\tauτ一起称为一个拓扑空间，记作(X,τ)(X,\tau)(X,τ)，称τ\tauτ中的成员为这个拓扑空间的开集。
所以拓扑的实质是XXX的一个满足拓扑公理的子集族。给出集合的一个拓扑，就是规定它的哪些子集是开集。这种规定不是任意的，其必须满足三条拓扑公理。但一般来说，一个集合上可以规定许多不同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑，也常常只用集合来称呼一个拓扑空间，如拓扑空间XXX等。
即然有了开集，那我们是是不是要说一下 “闭集” 酱呢。

1.2 闭集

（1）闭集的定义： 拓扑空间XXX的一个子集A称为闭集，如果AcA^cAc是开集。（开集的余集）
eg: XXX的离散拓扑2X2^X2X，任何子集都是开集，从而任何子集也都是闭集。
（2）闭集的3个重要性质：
one：XXX与∅\varnothing∅都是闭集。
因为∅,X\varnothing,X∅,X必定为开集，而她们的补集又是彼此，所以对于任何拓扑空间∅,X\varnothing,X∅,X必定为闭集。
two：任意多个闭集的交集是闭集。
three：有限多个闭集的并集是闭集。

为说明two和Three，这里先介绍一个重要的集合运算定律：摩根定律（De Morgan公式）
B\⋃λ∈ΛAλ=⋂λ∈Λ(B\Aλ),(1)B\backslash\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda = \bigcap_{\lambda \in \Lambda}(B\backslash A_\lambda),\tag{1}B\λ∈Λ⋃Aλ=λ∈Λ⋂(B\Aλ),(1)
B\⋂λ∈ΛAλ=⋃λ∈Λ(B\Aλ)(2)B\backslash\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda = \bigcup_{\lambda \in \Lambda}(B\backslash A_\lambda) \tag{2}B\λ∈Λ⋂Aλ=λ∈Λ⋃(B\Aλ)(2)
把BBB换称全集，(B\Aλ)=（Aλ）c(B\backslash A_\lambda)=（A_\lambda）^c(B\Aλ)=（Aλ）c
这个摩根定律在拓扑，概率论，实变函数都常常用到，需要牢记。

所以由摩根定律和拓扑公理(2)(3)知，two和three成立。

1.3 “特殊”的拓扑

“最大”与“最小”的拓扑。
（1）离散拓扑：设XXX为一非空集合，显然XXX的幂集2X2^X2X构成XXX的拓扑τs\tau_sτs，称为XXX上的离散拓扑。
显然XXX的任意拓扑τ⊂τs\tau \subset \tau_sτ⊂τs。
（2）平凡拓扑：{X,∅X,\varnothingX,∅}也是XXX上的拓扑，称为XXX上的平凡拓扑τt\tau_tτt。
同样，对于XXX的任意拓扑τ\tauτ，有τt⊂τ\tau_t \subset \tauτt⊂τ。

"大白话”拓扑
（3）余有限拓扑：设XXX是无穷集合，τf\tau_fτf={AcA^cAc | AAA是XXX的有限子集}⋃\bigcup⋃{∅\varnothing∅}，不难验证τf\tau_fτf是XXX的一个拓扑，称为XXX上的余有限拓扑。
（4）余可数拓扑：设XXX是无穷集合，τc\tau_cτc={AcA^cAc | AAA是XXX的可数子集}⋃\bigcup⋃{∅\varnothing∅}，不难验证τc\tau_cτc是XXX的一个拓扑，称为XXX上的余可数拓扑。

（5）欧式拓扑：设R是全体实数的集合，规定τe\tau_eτe={UUU | UUU是若个开区间的并集}，这里 “若干个” 可以是无穷，有限，也可以是0，因此∅∈τe\varnothing\in \tau_e∅∈τe，进一步可以验证τe\tau_eτe是R上的拓扑，称为R上的欧式拓扑，记为E1=(R,τe)E^1=(R,\tau_e)E1=(R,τe)。
（记住这个”若干个“,

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