邻域闭包matlab,拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

吉首大学数学与统计学院点集拓扑教案

1 第一章拓扑空间与拓扑不变量

数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间(直线、平面或空间)或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性

§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域

一、问题的引入

数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n 维欧氏空间，两点x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) 之间的距离

d(x,y)= 。

无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：

1. d(x,y)≥0 , ∀x,y ∈n

R ; 2. d(x,y) = 0 ⇔ x = y ;

3. d(x,y) = d(y,x) ∀x,y ∈n R ;

4. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) , ∀x,y,z ∈n R ; 这些性质反映了距离的特征。

将n R 推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。 (一 ) 度量空间

1. 定义

定义1 设X 是一个集合，ρ：X×X →R ,如果对于任何x,y,z ∈X,有

①(正定性)ρ(x,y )≥0 并且ρ (x,y) = 0 ⇔ x = y ；

②(对称性)ρ (x,y) = ρ (y,x) ；

③(三角不等式)ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z)

则称ρ是集合X 中的一个度量。

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