洛谷4895 BZOJ3162 独钓寒江雪 树形dp 树哈希
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题意：
给定一棵无根树，求其中本质不同的独立集的个数。独立集就是一个集合中的点之间都没有边直接相连。n<=5e5n<=5e5n<=5e5，对1e9+71e9+71e9+7取模。
题解：
首先膜拜一下y_immortaly\_immortaly_immortal神仙，是这个神仙教的我这个题怎么做QwQ.
首先考虑没有本质不同应该怎么算。我们设dp[x][0]dp[x][0]dp[x][0]表示考虑xxx为根的子树内不选xxx这个点的方案数，设dp[x][1]dp[x][1]dp[x][1]表示考虑xxx为根的子树内选xxx这个点的方案数。我们枚举xxx的每个子树，我们用子树的方案数乘起来就是答案。dp[x][0]=∏y∈son[x](dp[y][0]+dp[y][1])dp[x][0]=\prod_{y\in son[x]}(dp[y][0]+dp[y][1])dp[x][0]=∏y∈son[x](dp[y][0]+dp[y][1]),dp[x][1]=∏y∈son[x]dp[y][0]dp[x][1]=\prod_{y\in son[x]}dp[y][0]dp[x][1]=∏y∈son[x]dp[y][0]
于是考虑有本质不同怎么来算。我们设dp[x][0]dp[x][0]dp[x][0]表示考虑xxx为根的子树内不选xxx这个点本质不同的独立集数，设dp[x][1]dp[x][1]dp[x][1]表示考虑xxx为根的子树选xxx这个点的本质不同的独立集数。我们把本质相同的树放在一起考虑，我们假设现在考虑到的这种本质相同的子树在xxx的子树中有kkk棵，这种子树的根设为yyy节点。为了保证算方案的时候不会重复，我们给所有yyy中可以的方案编一个号，也就是说yyy子树中有多少种方案，最大的一个编号就是多少。之后我们为了不重复，所有相同的这些子树，规定前面的子树选的编号要小于等于后面的，这样就可以不重不漏。而这个东西应该是一个可重复的组合数。于是我们把每一类本质相同的yyy放在一起算，有dp[x][0]=∏y∈son[x](dp[y][1]+dp[y][0])∗Cdp[y][1]+dp[y][0]+k−1kdp[x][0]=\prod_{y\in son[x]}(dp[y][1]+dp[y][0])*C_{dp[y][1]+dp[y][0]+k-1}^{k}dp[x][0]=∏y∈son[x](dp[y][1]+dp[y][0])∗Cdp[y][1]+dp[y][0]+k−1k , dp[x][1]=∏y∈son[x]dp[y][0]∗Cdp[y][0]+k−1kdp[x][1]=\prod_{y\in son[x]}dp[y][0]*C_{dp[y][0]+k-1}^{k}dp[x][1]=∏y∈son[x]dp[y][0]∗Cdp[y][0]+k−1k
那么下面的问题是如何判断两棵树是否本质相同。我们要做的是树哈希。这里提供一种树哈希的方法。我们设叶子节点的哈希值是111，然后对于其他点，我们把他们的子树按照哈希值排序，然后依次乘进去，乘的时候像字符串哈希那样，把每一个子树看作一个字符，乘一个底数的多少次幂再加进来。最后再乘一个这个子树的size。反正这样起码能保证相同的不会判成不同。
另外就是求组合数的时候，没法求1e9+71e9+71e9+7那么大的，不过我们发现，大部分项可以被约掉，就剩下mmm项，我们暴力算这mmm项就好，我们每个点最多被在组合数里算一次，所以最终还是线性的。
复杂度O(n)O(n)O(n)。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n,hed[500010],cnt,sz[500010],mx[500010],rt,rt1,rt2,fa[500010];
long long ans,jie[500010],ni[500010],mi[500010],ha[500010],dp[500010][2];
const long long mod=1e9+7,base=23333;
struct node
{int to,next;
}a[2000010];
inline int read()
{int x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0')s=getchar();while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}return x;
}
inline long long ksm(long long x,long long y)
{long long res=1;while(y){if(y&1)res=res*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return res;
}
inline void add(int from,int to)
{a[++cnt].to=to;a[cnt].next=hed[from];hed[from]=cnt;
}
inline void getrt(int x,int f)
{sz[x]=1;mx[x]=0;for(int i=hed[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==f)continue;getrt(y,x);sz[x]+=sz[y];mx[x]=max(sz[y],mx[x]);}mx[x]=max(mx[x],n-sz[x]);if(mx[rt1]>mx[x])rt1=x;else if(mx[x]==mx[rt1])rt2=x;
}
inline void dfs(int x)
{sz[x]=1;for(int i=hed[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa[x])continue;fa[y]=x;dfs(y);sz[x]+=sz[y];}
}
inline int cmp(int x,int y)
{return ha[x]<ha[y];
}
inline void dfs1(int x)
{int num=0;vector<int> v;v.clear();ha[x]=1;for(int i=hed[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa[x])continue;dfs1(y);}for(int i=hed[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa[x])continue;v.push_back(y);++num;}sort(v.begin(),v.end(),cmp);for(int i=0;i<num;++i)ha[x]=(ha[x]+ha[v[i]]*mi[i+1])%mod;ha[x]=ha[x]*sz[x]%mod;
}
inline long long C(int n,int m)
{n%=mod;long long res=1;for(int i=n-m+1;i<=n;++i)res=res*i%mod;res=res*ni[m]%mod;return res;
}
inline void dfs2(int x)
{dp[x][0]=dp[x][1]=1;int num=0;vector<int> v;v.clear();for(int i=hed[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa[x])continue;dfs2(y);v.push_back(y);++num;}sort(v.begin(),v.end(),cmp);int shu=1;v.push_back(n+2);for(int i=1;i<=num;++i){if(ha[v[i]]!=ha[v[i-1]]){long long qwq=(dp[v[i-1]][0]+dp[v[i-1]][1])%mod,qwqq;qwqq=dp[v[i-1]][0];dp[x][0]=dp[x][0]*C(qwq+shu-1,shu)%mod;dp[x][1]=dp[x][1]*C(qwqq+shu-1,shu)%mod;shu=1;}else++shu;}
}
int main()
{n=read();ha[n+2]=mod+2;for(int i=1;i<=n-1;++i){int x=read(),y=read();add(x,y);add(y,x);}mx[0]=2e9;getrt(1,0);jie[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)jie[i]=jie[i-1]*i%mod;ni[n]=ksm(jie[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ni[i]=ni[i+1]*(i+1)%mod;mi[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)mi[i]=mi[i-1]*base%mod;if(mx[rt2]==mx[rt1]){rt=n+1;for(int i=hed[rt1];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==rt2){a[i].to=rt;break;}}for(int i=hed[rt2];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==rt1){a[i].to=rt;break;}}add(rt,rt1);add(rt,rt2);}elsert=rt1;memset(sz,0,sizeof(sz));dfs(rt);dfs1(rt);dfs2(rt);if(rt==rt1){ans=(dp[rt][0]+dp[rt][1])%mod;printf("%lld\n",ans);return 0;}if(ha[rt1]==ha[rt2]){ans=(dp[rt1][0]*dp[rt2][1]%mod+C(dp[rt1][0]+1,2))%mod;printf("%lld\n",ans);}else{ans=(dp[rt1][0]*dp[rt2][1]%mod+dp[rt1][1]*dp[rt2][0]%mod+dp[rt1][0]*dp[rt2][0]%mod)%mod;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}
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