洛谷4895 独钓寒江雪（树哈希+dp+组合）

qwq
首先，如果是没有要求本质不同的话，那么还是比较简单的一个树形dp

我们令dp[i][0/1]dp[i][0/1]dp[i][0/1]表示是否iii的子树，是否选iii这个点的方案数。

一个比较显然的想法。

dp[i][0]=∏(dp[p][0]+dp[p][1])dp[i][0]=\prod (dp[p][0]+dp[p][1])dp[i][0]=∏(dp[p][0]+dp[p][1])
dp[i][1]=∏dp[p][0]dp[i][1]=\prod dp[p][0]dp[i][1]=∏dp[p][0]

最后直接将一号点的答案加起来就好。

qwq但是如果写一发，就会发现第二个样例就wei掉了
（因为题目要求本质不同）

qwq
那么这个东西应该怎么做呢。

因为本质不同，所以对于xxx形态和yyy形态，在同一个根的两个形态一样的子树中，顺序并不影响贡献的。

所以考虑如果存在相同的应该怎么计算答案。

为了避免出现子树和整棵树除去这个子树之后的形态相似。
我们选择用重心来当做整个树的根。
因为重心的每个儿子都小于size2\frac{size}{2}2size
（如果存在两个重心的话，一个比较简便的计算方法就是用一个新点，连接两个点）

那么由于题目中的本质不同是旋转同构，所以如果两个子树形态相同，但是处于不同的子树，不需要一起计算（因为没法保证其他部分还相同）

所以我们就要求的是，对于每一个子树，求他本质相同的子树的贡献。

那么同一个形态的子树应该怎么统计答案呢。

 int p = (dp[v[i-1]][0]+dp[v[i-1]][1])%mod;int pp = dp[v[i-1]][0]%mod;p%=mod;pp%=mod;//dp[x][0]=(dp[x][0]*C(p+now-1,p-1))%mod;//dp[x][1]=(dp[x][1]*C(pp+now-1,pp-1))%mod;dp[x][0]=(dp[x][0]*C(p+now-1,now))%mod;dp[x][1]=(dp[x][1]*C(pp+now-1,now))%mod;//隔板，允许为空//由于要求本质不同，所以我们相当于对于这now个同形态子树，放到对应的方案数的箱子里，允许为空，所以是隔板法、//因为AAB和BAA是本质相同的。   now=1;

因为AAB和BAA是本质相同的。
所以其实我们将相当于把一些方案数，放到不同的子树内部。因为影响的答案只会是每个形态的个数。
这个是一个组合数，如果方案数是ppp，然后同形态的子树个数是nownownow，
Cp+now−1nowC^{now}_{p+now-1}Cp+now−1now

实际上这个是隔板（允许为空），一个经典套路

但是为了计算方便，我们选择选与他对称的一个组合数进行计算，因为nownownow的范围是O(n)O(n)O(n)的，我们可以直接用循环求组合数（其实也没别的办法啊）

那么现在就剩下一个问题了，就是如何判断形态相同。
这时候就需要树哈希了
sro DT_Kang orz

这里用的是亢爷的一种树哈希的做法。

void dfs1(int x,int fa)
{int num=0;vector<int> v;v.clear();ha[x]=1;for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){int p = to[i];if (p==fa) continue;dfs1(p,x);}for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){int p = to[i];if (p==fa) continue;v.pb(p);num++;}sort(v.begin(),v.end(),cmp);for (int i=0;i<num;i++){ha[x]=(ha[x]+ha[v[i]]*mi[i+1])%mod;}ha[x]=ha[x]*size[x]%mod;
}

首先，我们对于每个子树，统计他的每个儿子，按照哈希值进行排序，从小到大乘上mimimi，然后最后用整个的哈希值，乘上子树大小
（可以直接当成一个套路去记）

下面弄上整个代码。

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define int long long
#define pb push_backusing namespace std;inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}const int maxn = 1e6+1e2;
const int maxm = 2*maxn;
const int mod = 1e9+7;
const int qwq = 2333;int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int cnt=1,n,m;
int ha[maxn];
int size[maxn],root,root1,root2;
int dp[maxn][2];
int mx[maxn];
int mi[maxn];
int power[maxn],inv[maxn];
int maxson,ymh=1e9;void addedge(int x,int y)
{nxt[++cnt]=point[x];to[cnt]=y;point[x]=cnt;
}int qsm(int i,int j)
{int ans=1;while (j){if (j&1) ans=ans*i%mod;j>>=1;i=i*i%mod;}return ans;
}int C(int n,int m)
{n=n%mod;m=(m+mod)%mod;int ans=1;for (int i=n-m+1;i<=n;i++) ans=ans*i%mod;//if (inv[m]==0) cout<<m<<"()()("<<endl;ans=ans*inv[m]%mod;//int ss=ans+1;return ans;
}void init(int n)
{n+=10;power[0]=1;inv[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) power[i]=power[i-1]*i%mod;inv[n]=qsm(power[n],mod-2);for (int i=n-1;i>=1;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;mi[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*qwq%mod;
}void getroot(int x,int fa)
{size[x]=1;for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){int p = to[i];if (p==fa) continue;getroot(p,x);size[x]+=size[p];mx[x]=max(mx[x],size[p]);}mx[x]=max(mx[x],n-size[x]);if (mx[x]<ymh){ymh=mx[x];root1=x;}else if (mx[x]==ymh) root2=root1,root1=x;
}void dfs(int x,int fa)
{size[x]=1;for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){int p = to[i];if (p==fa) continue;dfs(p,x);size[x]+=size[p];}
}int a[maxn];bool cmp(int a,int b) //sro DT_Kang orz
{return ha[a]<ha[b];
}void dfs1(int x,int fa)
{int num=0;vector<int> v;v.clear();ha[x]=1;for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){int p = to[i];if (p==fa) continue;dfs1(p,x);}for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){int p = to[i];if (p==fa) continue;v.pb(p);num++;}sort(v.begin(),v.end(),cmp);for (int i=0;i<num;i++){ha[x]=(ha[x]+ha[v[i]]*mi[i+1])%mod;}ha[x]=ha[x]*size[x]%mod;
}void solve(int x,int fa)
{dp[x][0]=dp[x][1]=1;int num=0;vector<int> v;v.clear();for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){int p = to[i];if (p==fa) continue;solve(p,x);v.pb(p);num++;}sort(v.begin(),v.end(),cmp);int now = 1;v.pb(n+2);for (int i=1;i<=num;i++){//cout<<v[i]<<"***"<<" ";if (ha[v[i]]!=ha[v[i-1]]){int p = (dp[v[i-1]][0]+dp[v[i-1]][1])%mod;int pp = dp[v[i-1]][0]%mod;p%=mod;pp%=mod;//dp[x][0]=(dp[x][0]*C(p+now-1,p-1))%mod;//dp[x][1]=(dp[x][1]*C(pp+now-1,pp-1))%mod;dp[x][0]=(dp[x][0]*C(p+now-1,now))%mod;dp[x][1]=(dp[x][1]*C(pp+now-1,now))%mod;//隔板，允许为空//由于要求本质不同，所以我们相当于对于这now个同形态子树，放到对应的方案数的箱子里，允许为空，所以是隔板法、//因为AAB和BAA是本质相同的。  now=1;}elsenow++;//cout<<v[i]<<endl;}//if (dp[x][0]==0) cout<<x<<" "<<dp[x][0]<<endl;
}signed main()
{n=read();ha[n+2]=mod+2;init(n);for (int i=1;i<n;i++){int x=read(),y=read();addedge(x,y);addedge(y,x);}getroot(1,0); //求重心 if (mx[root2]==ymh){root=n+1;for (int i=point[root1];i;i=nxt[i]){int p = to[i];   if (p==root2){to[i]=to[i^1]=n+1;break;}    }addedge(root,root1);addedge(root,root2);}else{root = root1;}// cout<<root<<endl;memset(size,0,sizeof(size));dfs(root,0);dfs1(root,0);// cout<<1<<endl;solve(root,0);//cout<<root<<endl;//cout<<root1<<" "<<root2<<endl;//cout<<1<<endl;if (root==root1){//cout<<"****"<<endl;cout<<(dp[root][0]+dp[root][1])%mod;return 0;} int ans=0;if (ha[root1]==ha[root2]){int p = dp[root2][0]%mod;ans=(dp[root1][1]*dp[root2][0]%mod+C(p+2-1,2))%mod;}else{//cout<<"*****************"<<endl;ans=(dp[root1][1]*dp[root2][0]%mod+dp[root1][0]*dp[root2][1]%mod+dp[root1][0]*dp[root2][0]%mod)%mod;}cout<<ans;return 0;
}

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