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第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X ,X ,X )的

1 2 p

联合分布密度函数是一个维的函数，而边际分布讨论是X (X ,X ,X )的子向量的

p 1 2 p

概率分布，其概率密度函数的维数小于。

2.2设二维随机向量(X X )1 2 服从二元正态分布，写出其联合分布。

 2 

1 12



解：设(X X )1 2 的均值向量为μ   1 2 ，协方差矩阵为 2 ，则其联

 

 21 2 

合分布密度函数为

 1 2  12 121/2  1  12 121 

f (x)   2  exp  (xμ)  2  (xμ)。

 2    2  

 21 2    21 2  

2.3 已知随机向量(X X )1 2 的联合密度函数为

2[(dc)(x a)(ba)(x c)2(x a)(x c)]1 2 1 2

f (x ,x )

1 2 (ba)(dc)2 2

ax b cx d

其中 1 ， 2 。求

X X

(1)随机变量和的边缘密度函数、均值和方差；1 2

X X

(2)随机变量和的协方差和相关系数；1 2

X X

(3)判断和是否相互独立。1 2

X X

(1)解：随机变量和的边缘密度函数、均值和方差；1 2

d 2[(dc)(x a)(ba)(x c)2(x a)(x c)]1 2 1 2

f (x )x1 1 c (ba)(dc)2 2 dx

2(dc)(x ax)1 2 d 2[(ba)(x c)2(x a)(x c)]2 1 2

  dx

(ba)(dc)2 2 c (ba)(dc)2 2 2

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