提示：本文的适用对象为已修过《微积分A1》的非数学系学生，文中题型方法为个人总结，为个人复习使用。部分理解虽然不太严谨，但对于解题的实用性较强。若有疏漏or错误，欢迎批评指正。

一、常数项级数

1、无穷级数的收敛性

（1）判断无穷级数收敛性的方法

1.（通过无穷级数的前n项和来判断）若一个无穷级数的前n项和收敛于S，则这个无穷级数也收敛于S；反之若其前n项和的极限不存在，则称级数发散。

2.（通过Cauchy准则来判断）若一个无穷级数存在一个界限N,当n>N时，从n+1到任意的n+p项求和取绝对值，其结果比任何一个大于零的数都要小，则该无穷级数收敛。

反之，证明发散性可以用Cauchy准则的逆定理，超级简单！！！！叙述如下：

$\exists \varepsilon > 0,\exists n,p\in N^{+}$ ,都有 $\left | \sum_{k=n+1}^{n+p}u_{k} \right | \geq \varepsilon$ 。这样我们就可以只要取出一组这样的值满足情况就能证明无穷级数发散

3.一个想法就是：部分和是单调有界数列推出部分和收敛，进而推出原级数收敛

4.记住：在公比绝对值小于一的时候，等比级数收敛；在p>1时，级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{p}}$ 收敛

（2）收敛级数的性质

1.若无穷级数收敛，则在n趋向于正无穷的时候，级数的值趋向于0。

2.两级数都收敛，则由其线性组合成的新级数也收敛，但是无法反推

3.两发散级数的组合未必发散，但一收敛一发散组合必发散

4.收敛级数的收敛性不会因为改变有限项的值而改变，但是收敛值一般会改变

2、非负项级数的收敛性

（1）非负项级数收敛性的判定方法

1.（比较判敛法）大的收敛，小的就收敛。小的发散，大的就发散

2.（比较判敛法的极限形式）

一些判断复杂级数收敛性的方法，找到此级数的同阶简单级数，看简单级数的收敛性

3.（比值判别法）后项与前项做比值取极限，极限值（或上极限）小于1，则级数收敛；极限值大于1（或下极限），则级数发散。

4.（根值判别法）对级数开n次根号取极限（上极限），极限值小于1，则级数收敛；极限值大于1，则级数发散。

5.（Raabe判别法）

嗯...这个方法感觉是针对很精细的差异进行判断的

6. （Cauchy积分判敛法）

级数是离散的函数，若一个级数对应的函数f(x)非负递减，怎级数收敛的充分必要条件是广义积分 $\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛

这个定理比较突出的一点是，它可以把广义积分的收敛性与非负项级数的收敛性联系起来，许多在广义积分中的“尺子”都可以被用于判断级数收敛。

（2）几个特例与注意事项

1、关于奇数项和偶数项的级数

方法1：使用“求和极限”，求出2n项和2n-1项的和的极限，最后得出这两个极限相等，推出级数收敛

方法2：使用根式判敛法分别判断奇数项和偶数项的敛散性，发现极限值都小于1，则推出级数收敛。

2、对于一个特殊尺子敛散性的衡量

对于 $\sum_{n=2}^{+ \infty}\frac{1}{n^{p}(lnn)^{q}}$

核心思想：1、关于P分类讨论，分别讨论p>1,p<1和p=1的情况

2、找到一个合适的级数用于比较判敛法

3、将级数与广义积分联系起来，记住这个广义积分的尺子

3、关于复杂积分泰勒展开判断收敛性的衡量

其实对于这道题，如果把他放在考场中，我是绝对不会做的，下面分析一下我不会做这道题的原因：

1、我不会泰勒展开，好难记

2、其实可以直接求和然后极限存在，故级数收敛

3、任意项级数的收敛性

（1）交错项级数的收敛性与常用解题套路

1、关于绝对收敛与条件收敛

（摘自James Stewart《微积分》笔记·11.6 Absolute Convergence and the Ratio and Root Tests（绝对收敛和比例、根式检验） - 知乎 (zhihu.com)）感觉说的挺好就放上了

对于绝对收敛，其实你可以把他当作非负项级数来看，非负项级数的收敛法则对于绝对收敛也同样使用。

2、交错项级数与其收敛性判断——莱布尼兹定理

1、交错项级数的形式，其中un大于等于0，为正项级数的部分，n=1,2,3.....

$\sum_{n=1}^{+ \infty}(-1)^{n-1}u_{n}$

2、（莱布尼兹定理）对于 $\sum_{n=1}^{+ \infty}(-1)^{n-1}u_{n}$ ，若un单调递减且趋近于零，则这个交错项级数收敛，且其和函数S小于等于u1。

3、一个实例看最常见题型

的收敛性判断。

对于这种分子分母都存在 $(-1)^{n}$ 的级数，无法用莱布尼茨公式求解，我们可以考虑通过通项的泰勒展开来讨论级数的收敛性。

做题之前补充一个知识点，是关于小o与大O的知识点

我们回到“无穷小函数的阶”这一部分，其中对于无穷小函数和无穷小量的定义是这样的

相比之下，对于大O的定义

就是说，小o和大O的区别是什么呢？

小o代表了函数是某一个东西的高阶无穷小，在取极限时函数相对于这个东西而言，是可以忽略的小量

大O代表了函数被某一个东西控制在了某一范围内

说回题目中收敛性的判断，题目是这样解答的

step1：提出一项，构造成了一个分式项

step2：对这个分式进行泰勒展开，得到几个不同的级数部分

step3：对于每一个级数部分分别判断，其中对于O（）的形式（为了方便放缩），要善于进行放缩，将其放缩成一个新的（也许是收敛的）级数

step4：综合判断敛散性

同样对于第二个式子，我们也可以这样求解

4、关于收敛级数线性组合的收敛情况总结

（1）两个绝对收敛级数加减，结果绝对收敛

（2）一绝对、一条件级数相加减，结果条件收敛

（3）两个条件收敛加减，结果肯定是收敛的

（4）一收敛一发散加减，结果发散

（5）两发散相加减，结果不一定

（2）迪利克雷与阿贝尔——任意项级数判敛方法

1、迪利克雷判敛法

一个数列和有界，一个数列单调趋于零，则它们的乘积收敛

2、阿贝尔判别法

一个数列收敛，一个数列单调有界，则他们的乘积收敛

在判断时，对于一些涉及三角函数的题型，我们要补全积化和差和差化积公式的知识以便运算

上为和差化积公式，记忆要点为：正加正，正在前；余加余，余并肩。正减正，余在前；余减余，负正弦。

4、无穷求和

收敛级数求和的规律

我觉得在我们这次的微积分考试中，或者可能他不会考???等我想写了再补上来~

二、函数项级数

1、函数项级数的收敛性

（1）函数一致收敛性的判定

1、求出和函数，级数与和函数的差无限小

2、Cauchy准则，从n+1项到任意n+p项的和无限小

（柯西定理的否定形式常用来证明不收敛）

3、先证明和函数一致收敛，再推出级数一致收敛

4、！！！！重点（Weierstrass判别法）找到一个非负常数项收敛级数 $\sum_{n=1}^{+ \infty} M_{n}$ 大于原函数项级数的绝对值，则可推出函数项级数一致收敛（搭建起数项级数与函数项级数的桥梁）

W.判别法在判断起一致收敛性的同时，也判断了函数项级数的绝对收敛性

5、迪利克雷判别法和阿贝尔判别法（考试不考，我稍后补）

2、一致收敛函数项级数和函数的性质

（感觉跟广义积分部分很像）

（1）级数一致收敛于和函数，级数连续，则和函数连续。

（2）级数一致收敛于和函数，级数可积，则级数的求和符号与积分符号可以交换位置

（3）级数连续可导，导数一致收敛，在某一点的函数项级数一致收敛，则该函数项级数一致收敛，且求和符号与求导符号可交换位置。

三、幂级数

（1）幂级数的定义

（2）收敛半径的求解

使用比值判别法/根值判别法求出 $a_{n}$ 部分的

附：对于缺项情况，直接做比值取极限，求解出x的范围

已知幂级数在某一点条件收敛，则该幂级数的收敛半径就已知了

（3）收敛域和收敛区间的区别

收敛域要考虑边界的开闭情况，而收敛区间不需要，就是开的。

已知一个幂级数的收敛半径，推出另一个相关级数的收敛半径——用举例法去想

一个幂级数，逐项求导/逐项积分后，收敛半径不会改变

（4）幂级数的和函数

注意》在求和函数的过程中，会出现分母为零时的分类讨论情况，定义域会被拆分

（5）无穷可导函数的幂级数展开

(2条消息) 常用的收敛级数整理_万字长文看够幂级数_jie sherry的博客-CSDN博客

我是直接把他这个全文背诵的，建议大家阅读

四、傅里叶级数

1、形式

我在关注的核心点，就是如何求一个函数的傅里叶级数

（下一篇内容：级数重点题型整理+如何求函数的傅里叶级数）

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