【高等数学】下册第十二章第一节常数项级数的概念和性质

文章目录

1. 常数项级数的概念
- 1.1. 常数项级数
- 1.2. 部分和
- 1.3. 无穷级数的收敛和发散
- 1.4. 余项与误差
2. 级数与部分和数列的关系
- 2.1. 给定级数
- 2.2. 给定部分和数列
3. 几何级数
- 3.1 定义
- 3.2. 收敛性
4. 收敛级数的基本性质
- 4.1. 每一项数乘非零常数
- 4.2. 级数的加法
- 4.3. 在级数中去掉、加上或改变有限项
- 4.4. 对级数的项任意加括号
- 4.5. 级数收敛与一般项
5. 调和级数
- 5.1. 定义
- 5.2. 收敛性

1. 常数项级数的概念

1.1. 常数项级数

一般地，如果给定一个数列u1,u2,u3,...,un,...,u_1,u_2,u_3,...,u_n,...,u1,u2,u3,...,un,...,那么由这个数列构成的表达式u1+u2+u3+...+un+...u_1+u_2+u_3+...+u_n+...u1+u2+u3+...+un+...叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，即∑i=1∞ui=u1++u2+u3+...+ui+...\sum_{i=1} ^{\infin}u_i=u_1++u_2+u_3+...+u_i+...i=1∑∞ui=u1++u2+u3+...+ui+...，其中第nnn项unu_nun叫做级数的一般项。

1.2. 部分和

级数的前nnn项和sn=u1+u2+...+un=∑i=1nuis_n=u_1+u_2+...+u_n=\sum_{i=1}^{n}u_isn=u1+u2+...+un=i=1∑nui称为级数的部分和。

1.3. 无穷级数的收敛和发散

如果级数∑i=1∞ui\sum_{i=1}^{\infin}u_i∑i=1∞ui的部分和数列{sn}\{s_n\}{sn}有极限sss，即：lim⁡n→∞sn=s,\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=s,n→∞limsn=s,那么称无穷级数∑i=1∞ui\sum_{i=1}^{\infin}u_i∑i=1∞ui收敛，这时极限sss叫做这级数的和，并写成s=u1+u2+...+ui+...;s=u_1+u_2+...+u_i+...;s=u1+u2+...+ui+...;如果{sn}\{s_n\}{sn}没有极限，那么称无穷级数∑i=1∞ui\sum_{i=1}^{\infin}u_i∑i=1∞ui发散。

1.4. 余项与误差

当级数收敛时，rn=s−sn=un+1+un+2+...r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...rn=s−sn=un+1+un+2+...叫做级数的余项。用近似值sns_nsn代替sss所产生的误差就是这个余项的绝对值，即误差是∣rn∣|r_n|∣rn∣。

2. 级数与部分和数列的关系

2.1. 给定级数

给定级数，即给定∑i=1∞ui\sum_{i=1}^{\infin}u_i∑i=1∞ui，部分和数列为{sn=∑i=1nui}。\{s_n=\sum_{i=1}^{n}u_i\}。{sn=i=1∑nui}。

2.2. 给定部分和数列

给定部分和数列{sn}\{s_n\}{sn}，就有以{sn}\{s_n\}{sn}为部分和数列的级数u1+u2+...+ui+...=s1+(s2−s1)+...+(si−si−1)+...=s1+∑i=2∞(si−si−1)=∑i=1∞ui\begin{aligned} u_1+u_2+...+u_i+...&=s_1+(s_2-s_1)+...+(s_i-s_{i-1})+...\\ &=s_1+\sum_{i=2}^{\infin}(s_i-s_{i-1})\\ &=\sum_{i=1}^{\infin}u_i \end{aligned} u1+u2+...+ui+...=s1+(s2−s1)+...+(si−si−1)+...=s1+i=2∑∞(si−si−1)=i=1∑∞ui其中u1=s1,un=sn−sn−1(n≥2)u_1=s_1,u_n=s_n-s_{n-1}(n \ge 2)u1=s1,un=sn−sn−1(n≥2)。按定义，级数与部分和数列具有相同的收敛性，而且在收敛时有∑i=1∞ui=lim⁡n→∞sn=lim⁡n→∞∑i=1nui。\sum_{i=1}^{\infin}u_i=\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\lim_{n\rightarrow\infin}\sum_{i=1}^{n}u_i。i=1∑∞ui=n→∞limsn=n→∞limi=1∑nui。

3. 几何级数

3.1 定义

∑i=0∞aqi=a+aq+aq2+...+aqi+...\sum_{i=0}^{\infin}aq^i=a+aq+aq^2+...+aq^i+... i=0∑∞aqi=a+aq+aq2+...+aqi+...其中a≠0,qa \ne 0,qa=0,q叫做级数的公比。

3.2. 收敛性

sn=a+aq+...+aqn−1=a−aqn1−q\begin{aligned} s_n&=a+aq+...+aq^{n-1}\\ &=\frac{a-aq^n}{1-q} \end{aligned} sn=a+aq+...+aqn−1=1−qa−aqn

当∣q∣<1|q|<1∣q∣<1时，由于lim⁡n→∞qn=0,\lim_{n\rightarrow\infin}q^n=0,n→∞limqn=0,从而lim⁡n→∞sn=a1−q,\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\frac{a}{1-q},n→∞limsn=1−qa,因此这时的级数收敛，其和为a1−q\dfrac{a}{1-q}1−qa。
当∣q∣>1时|q|>1时∣q∣>1时，由于lim⁡n→∞qn=∞,\lim_{n\rightarrow\infin}q^n=\infin,n→∞limqn=∞,从而lim⁡n→∞sn=∞,\lim_{n\rightarrow\infin}s_n=\infin,n→∞limsn=∞,因此这时的级数发散。
如果∣q∣=1|q|=1∣q∣=1，当q=1q=1q=1时，sn=na→∞s_n=na\rightarrow\infinsn=na→∞，因此级数发散；当q=−1q=-1q=−1时，sn=(−1)nas_n=(-1)^nasn=(−1)na，从而sns_nsn的极限不存在，这时的级数也发散。
综上所述，如果几何级数的公比的绝对值∣q∣<1|q| <1∣q∣<1，那么级数收敛；如果∣q∣≥1|q| \ge 1∣q∣≥1那么级数发散。

4. 收敛级数的基本性质

4.1. 每一项数乘非零常数

如果级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infin}u_nn=1∑∞un收敛于和sss，那么级数∑n=1∞kun\sum_{n=1}^{\infin}ku_nn=1∑∞kun也收敛，且其和为ksksks。
即
∑n=1∞kun=k∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infin}ku_n=k\sum_{n=1}^{\infin}u_n n=1∑∞kun=kn=1∑∞un

4.2. 级数的加法

如果级数∑n=1∞un与∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infin}u_n与\sum_{n=1}^{\infin}v_nn=1∑∞un与n=1∑∞vn分别收敛于和s与σs与\sigmas与σ，那么级数∑n=1∞(un±vn)\sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n)n=1∑∞(un±vn)也收敛，且其和为s±σs\pm \sigmas±σ。
即
∑n=1∞(un±vn)=∑n=1∞un±∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infin}(u_n\pm v_n)=\sum_{n=1}^{\infin}u_n \pm \sum_{n=1}^{\infin}v_n n=1∑∞(un±vn)=n=1∑∞un±n=1∑∞vn

4.3. 在级数中去掉、加上或改变有限项

在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
级数本质也是一个极限，是一个趋势，与有限项无关。

4.4. 对级数的项任意加括号

如果级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infin}u_nn=1∑∞un收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数(u1+...+un1)+(un1+1+...+un2)+...+(unk+1+...+unk)+...(u_1+...+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+...+u_{n_2})+...+(u_{n_k+1}+...+u_{n_k})+...(u1+...+un1)+(un1+1+...+un2)+...+(unk+1+...+unk)+...仍收敛，且其和不变。
新级数的部分和数列是原级数部分和数列的子列。
如果加括号后所成的级数发散，那么原来的级数也发散。

4.5. 级数收敛与一般项

如果级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infin}u_nn=1∑∞un收敛于和sss，那么它的一般项unu_nun趋于零，即
lim⁡n→∞un=0.\lim_{n\rightarrow\infin}u_n=0. n→∞limun=0.
如果级数的一般项不趋于零，那么该级数必定发散。

5. 调和级数

5.1. 定义

∑n=1∞1n=1+12+13+...+1n+...\sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+... n=1∑∞n1=1+21+31+...+n1+...

5.2. 收敛性

虽然它的一般项un=1n→0(n→∞)u_n=\dfrac{1}{n}\rightarrow0(n\rightarrow\infin)un=n1→0(n→∞)，但它是发散的。

从部分和数列的角度来看，调和级数的部分和数列单调递增没有上界，因而是发散的。
用反证法，假设调和级数收敛，有s2n−sn→s−s=0(n→∞)s_{2n}-s_n\rightarrow s-s=0(n\rightarrow\infin)s2n−sn→s−s=0(n→∞)，但另一方面s2n−sn=1n+1+1n+2+...+12n>12n+12n+...+12n=12s_{2n}-s_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+...+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}s2n−sn=n+11+n+21+...+2n1>2n1+2n1+...+2n1=21，故s2n−sn↛0(n→∞)s_{2n}-s_n\nrightarrow0(n\rightarrow\infin)s2n−sn↛0(n→∞)与假设矛盾，说明级数必定发散。