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常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

定义：正项级数

一般的常数项级数，各项可以为正数、负数或零

各项都是正数或零的级数，称为正项级数

定理1

正项级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sns_nsn​有界

定理2（比较审敛法）

设∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​和∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​都是正项级数，且un≤vn(n=1,2,...)u_n\leq v_n(n=1,2,...)un​≤vn​(n=1,2,...)

• 若级数∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​收敛，则级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​收敛

• 反之，若∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​发散，则∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​发散

推论

如果级数∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​收敛，且存在正整数NNN，使当n≥Nn\geq Nn≥N时，有

un≤kvn(k>0)u_n \leq k v_n(k > 0)un​≤kvn​(k>0)

成立，那么级数∑n=1∞un\sum_{n = 1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​收敛

如果级数∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​发散，且当n≥Nn\geq Nn≥N时，有

un≥kvn（k>0)u_n \geq k v_n（k > 0)un​≥kvn​（k>0)

成立，那么级数∑n=1∞un\sum_{n = 1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​收敛发散

定理3 （比较审敛法的极限形式）

设∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​和∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​都是正项级数

（1） 如果lim⁡n→∞unvn=l(0≤l<+∞)\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0\leq l< +\infty)limn→∞​vn​un​​=l(0≤l<+∞)，且级数∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​收敛，那么级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​收敛

（2）如果lim⁡n→∞unvn=l(l>0)\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(l > 0)limn→∞​vn​un​​=l(l>0)或lim⁡n→∞unvn=+∞\lim_{n \rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=+\inftylimn→∞​vn​un​​=+∞，且级数∑n=1∞vn\sum_{n=1}^{\infty}v_n∑n=1∞​vn​发散，那么级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​发散

定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）

设∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​为正项级数，如果

lim⁡n→∞un+1un=ρ\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rhon→∞lim​un​un+1​​=ρ

那么

• ρ<1\rho< 1ρ<1时，级数收敛

• ρ>1\rho>1ρ>1或lim⁡n→∞un+1un=∞\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\inftylimn→∞​un​un+1​​=∞时级数发散

• ρ=1\rho = 1ρ=1时，级数可能收敛，也可能发散

定理5（比值审敛法，柯西判别法）

设∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​为正项级数，如果

lim⁡n→∞unn=ρ\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rhon→∞lim​nun​​=ρ

那么当

• ρ<1\rho < 1ρ<1时级数收敛
• ρ>1\rho > 1ρ>1或lim⁡n→∞unn=+∞\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=+\inftylimn→∞​nun​​=+∞时级数发散
• ρ=1\rho = 1ρ=1时级数可能收敛，可能发散

定理6（极限审敛法）

（1）如果lim⁡n→∞nun=l>0\lim_{n\rightarrow\infty} nu_n = l > 0limn→∞​nun​=l>0或lim⁡n→∞nun=+∞\lim_{n\rightarrow\infty} nu_n =+\inftylimn→∞​nun​=+∞，那么级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​发散

（2）如果p>1p > 1p>1，而lim⁡n→∞npun=l(0≤l<+∞)\lim_{n\rightarrow\infty}n^p u_n = l(0 \leq l < +\infty)limn→∞​npun​=l(0≤l<+∞)，那么级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​收敛

二、交错级数及其审敛法

定义：交错级数

各项都是交错的，例如

u1−u2+u3−u4+.....u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + .....u1​−u2​+u3​−u4​+.....

或

−u1+u2−u3+u4−.....-u_1 + u_2 - u_3 + u_4 - .....−u1​+u2​−u3​+u4​−.....

定理7（莱布尼茨定理）

如果交错级数∑n=1∞(−1)n−1un\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n∑n=1∞​(−1)n−1un​满足条件

（1）un≥un+1(n=1,2,3,....)u_n \geq u_{n+1}\quad(n = 1, 2, 3,....)un​≥un+1​(n=1,2,3,....)
（2） lim⁡n→∞un=0\lim_{n\rightarrow\infty}u_n = 0limn→∞​un​=0

三、绝对收敛与条件收敛

定义

一般的级数

u1+u2+....+un+...u_1 + u_2 + .... +u_n +...u1​+u2​+....+un​+...

其各项为任意实数

如果级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​各项的绝对值所构成的正项级数∑n=1∞∣un∣\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|∑n=1∞​∣un​∣收敛

那么称级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​绝对收敛

如果级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​收敛，而级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​发散

则称级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​条件收敛

定理8

如果级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​绝对收敛，那么级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​必定收敛

结语

说明：

• 参考于 课本《高等数学》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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