前言
往期文章
常数项级数的概念和性质
- 一、常数项级数的概念
- - 常数项无穷级数
  - 定义：收敛与发散
  - 例题
- 二、收敛级数的基本性质
- - 性质1
  - 性质2
  - 性质3
  - 性质4
  - 性质5（级数收敛的必要条件）
- 三、柯西审敛定理
结语

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常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项无穷级数

一般地，如果给定一个数列

u 1 , u 2 , u 3 , . . . , u n , . . . , u_1,u_2,u_3,...,u_n,..., u1,u2,u3,...,un,...,

那么由这数列构成的表达式

u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . . u_1+u_2+u_3+...+u_n+.... u1+u2+u3+...+un+....

叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为

∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infty} u_i i=1∑∞ui

即

∑ i = 1 ∞ u i = u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . . \sum_{i=1}^{\infty} u_i=u_1+u_2+u_3+...+u_n+.... i=1∑∞ui=u1+u2+u3+...+un+....

其中第 n n n项 u n u_n un叫做级数的一般项

作上述常数项级数的前 n n n项和

s n = u 1 + u 2 + . . . + u n = ∑ i = 1 n u i s_n=u_1+u_2+...+u_n=\sum_{i=1}^{n}u_i sn=u1+u2+...+un=i=1∑nui

s n s_n sn称为级数 u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . . u_1+u_2+u_3+...+u_n+.... u1+u2+u3+...+un+....的部分和

当 n n n依次取 1 , 2 , 3 , . . . 1,2,3,... 1,2,3,...时，它们又构成了一个新的数列

s 1 = u 1 s_1=u_1 s1=u1

s 2 = u 1 + u 2 s_2=u_1+u_2 s2=u1+u2

s 3 = u 1 + u 2 + u 3 s_3=u_1+u_2+u_3 s3=u1+u2+u3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... ....................................

s n = u 1 + u 2 + . . . + u n s_n=u_1 + u_2 + ... + u_n sn=u1+u2+...+un

然后依据这个数列有没有极限，引入无穷级数 u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . . u_1+u_2+u_3+...+u_n+.... u1+u2+u3+...+un+....的收敛与发散的概念

定义：收敛与发散

如果级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infty}u_i ∑i=1∞ui的部分和数列 s n {s_n} sn有极限 s s s，即

lim ⁡ n → ∞ s n = s \lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s n→∞limsn=s

那么称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infty}u_i ∑i=1∞ui收敛

这时极限 s s s叫做这个级数的和，并写为

s = u 1 + u 2 + . . . . + u i + . . . . s=u_1 + u_2 + .... + u_i + .... s=u1+u2+....+ui+....

如果 s n {s_n} sn没有极限，那么称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^{\infty}u_i ∑i=1∞ui发散

当级数收敛时，其部分和 s n s_n sn是级数的和 s s s的近似值，它们之间的差值

r n = s − s n = u n + 1 + u n + 2 + . . . . r_n = s - s_n= u_{n+1} + u_{n+2} + .... rn=s−sn=un+1+un+2+....

叫做级数的余项

用近似值 s n s_n sn代替和 s s s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 ∣ r n ∣ |r_n| ∣rn∣

例题

例题1

例题2

例题3

二、收敛级数的基本性质

性质1

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛余和 s s s，那么级数 ∑ n = 1 ∞ k u n \sum_{n=1}^{\infty}ku_n ∑n=1∞kun也收敛，且其和为 k s ks ks

性质2

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un与 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty}v_n ∑n=1∞vn分别收敛于和 s s s与 σ \sigma σ

那么级数 ∑ n = 1 ∞ ( u n + / − v n ) \sum_{n=1}^{\infty}(u_n +/- v_n) ∑n=1∞(un+/−vn)也收敛，且其和为 s + / − σ s+/- \sigma s+/−σ

性质3

在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性

性质4

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数

( u 1 + . . . + u n 1 ) + ( u n 1 + 1 + . . . + u n 2 ) + . . . + ( u n k − 1 + 1 + . . . . + u n k ) + . . . . (u_1+...+u_{n_1}) + (u_{n_1+1+...+u_{n_2}})+...+(u_{n_{k-1}+1}+....+u_{n_k})+.... (u1+...+un1)+(un1+1+...+un2)+...+(unk−1+1+....+unk)+....

仍收敛，且其和不变

性质5（级数收敛的必要条件）

如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un收敛，那么它的一般项 u n u_n un趋近于0，即

lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = 0 n→∞limun=0

注意：有些级数虽然一般项是趋近于0，但仍然是发散的！

三、柯西审敛定理

结语

说明：

参考于课本《高等数学》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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