(说明：由于本文章含有较多的根号，推荐使用IE直接阅读，或者使用IE+MathPlayer。火狐浏览器对根号的显示是相当的差。)

大家知道，1到4次的代数方程都有求根公式(尽管未必是最简单的方法)，对于1次和2次方程的求根，大家可能滚瓜烂熟了。但是你了解三次方程的解法吗？

$$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq0)$$

网上有不少关于这方面的资料，但是却有着两个缺点：一是缺乏描述专业数学公式的相关程序(很多网站都是这样)；二是语言过于专业，不能大众化(如维基百科)。

要了解三次方程的求根公式，首先要知道，一般地，n次代数方程有n个根。而对于最基本的三次方程$x^3+p=0$，我们有：

$$x_1=-\sqrt[3]{p}$$

同时根据韦达定理，我们有$x_1+x_2+x_3=0,x_1\cdot x_2\cdot x_3=-p$，我们已经知道$x_1=-\sqrt[3]{p}$，现在就变成了关于$x_2,x_3$的二次方程组，可以求解($i^2=-1$，虚数单位)：

$$x_2=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}, \quad x_3=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}$$

特别地，一般会将$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)$写成$\omega$，于是

$$x_2=\sqrt[3]{p} \omega,\quad x_3=\sqrt[3]{p}\omega ^2$$

图片说明：塔塔利亚

下面进入一般的三次方程的求解：

对于一道三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$，我们有可以用换元法，设$y=x+\frac{b}{3a}$，将原方程变为关于y的三次方程：

$$y^3+py+q=0 \Leftrightarrow y^3+py=-q$$

其中

$$\begin{aligned}&y=x+\frac{b}{3a}\\

&p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\\

&q=\frac{2{b^3}}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\end{aligned}$$

(卡丹的证明)由于$(A-B)^3+3AB(A-B)=A^{3}-B^{3}$，所以$3AB=p,A^{3}-B^{3}=-q,y=A-B$，于是变成关于$A,B$的六次方程组，而这一道六次方程组很简单，通过换元法，就变成了一道二次方程组，可以求解。最后我们得到的结果为：

$$\begin{aligned}&A=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}},

&B=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}\end{aligned}$$

接下来就很容易得出原方程的解了。

图片说明：卡丹，又译卡尔达诺

最终，我们得出关于方程$y^3+px+q=0$的求根公式为

$$\begin{aligned}&x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\

&x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\

&x_3=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\

&\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\end{aligned}$$

看到这里，如果想挑战自己的你，请写出$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$的一般求根公式吧^_^

至于四次方程，有时间也会写一下。

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

打赏

微信打赏

支付宝打赏

因为网站后台对打赏并无记录，因此欢迎在打赏时候备注留言。你还可以点击这里或在下方评论区留言来告知你的建议或需求。

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Jul. 19, 2009). 《三次方程的根式求解(通俗版本) 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/26