1、原理

对某个多项式函数有已知的k+1个点，假设任意两个不同的都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
L(x)=∑j=0kyjℓj(x)L(x)=\sum_{j=0}^{k} y_{j} \ell_{j}(x) L(x)=j=0∑kyjℓj(x)
其中每个ℓj(x)\ell_{j}(x)ℓj(x)为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
ℓj(x)=∏i=0,i≠jkx−xixj−xi=(x−x0)(xj−x0)⋯(x−xj−1)(xj−xj−1)(x−xj+1)(xj−xj+1)⋯(x−xk)(xj−xk)\ell_{j}(x)=\prod_{i=0, i \neq j}^{k} \frac{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}=\frac{\left(x-x_{0}\right)}{\left(x_{j}-x_{0}\right)} \cdots \frac{\left(x-x_{j-1}\right)}{\left(x_{j}-x_{j-1}\right)} \frac{\left(x-x_{j+1}\right)}{\left(x_{j}-x_{j+1}\right)} \cdots \frac{\left(x-x_{k}\right)}{\left(x_{j}-x_{k}\right)} ℓj(x)=i=0,i=j∏kxj−xix−xi=(xj−x0)(x−x0)⋯(xj−xj−1)(x−xj−1)(xj−xj+1)(x−xj+1)⋯(xj−xk)(x−xk)
例如：当k=3时，上面的公式变为：
f(x)=(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)y0+(x−x0)(x−x2)(x−x3)(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)y1+(x−x0)(x−x1)(x−x3)(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)y2+(x−x0)(x−x1)(x−x2)(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)y3f(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)\left(x_{0}-x_{3}\right)} y_{0}+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)} y_{1}+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{3}\right)}{\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)} y_{2}+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}{\left(x_{3}-x_{0}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)} y_{3} f(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)(x−x1)(x−x2)(x−x3)y0+(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)(x−x0)(x−x2)(x−x3)y1+(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)(x−x0)(x−x1)(x−x3)y2+(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)(x−x0)(x−x1)(x−x2)y3

2、涉及的Python库

主要依赖于scipy，

from scipy.interplotate import lagrange

直接调用lagrange(x,y)这个函数即可，返回一个对象。参数x,y分别是对应各个点的x值和y值：例如

(1,2) (3,5) (5,9)这三个点的x,y分别是： x ＝[1,3,5]； y =[2, 5, 9]
a = lagrange(x,y)，直接输出该对象，就能看到插值的函数。

利用该对象，能得到很多特性。具体参见：https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.12.0/reference/generated/numpy.poly1d.html+https://docs.scipy.org/doc/scipy-1.0.0/reference/generated/scipy.interpolate.lagrange.html

继续上面的例子：

a.order得到阶
a[]得到系数
a()得到对应函数值
此外可以对其进行加减乘除运算

3、例子

from scipy.interpolate import lagrange
x=[1,2,3,4,7]
y=[5,7,10,3,9]
a=lagrange(x,y)
print('插值函数\n',a)
print('\n==============================\n插值函数的阶数',a.order)
print('\n==============================\nx=1对应函数y值{}，\nx=2对应函数y值{}，\nx=3对应函数y值{}'.format(a(1),a(2),a(3)))
print('\n==============================\n常数项系数{}，\n二阶项系数{}，\n三阶项系数{}'.format(a[0],a[2],a[3]))

尝试同时输出多个y值

x=[1,2,3,4,7]
a(x)

参考：
http://liao.cpython.org/scipy11/

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拉格朗日插值法python实现

目录

1、原理

2、涉及的Python库

3、例子

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