1.数学原理

首先我们得知道一个定理：给定n+1个互异节点，则它的n次插值多项式是唯一存在的。

1.1 线性插值

线性插值即一次插值
已知：

求解:L1(x)=a1x+a0L_1(x)=a_1x+a_0 L1(x)=a1x+a0
根据点斜式得到：
L1(x)=y0+(y1−y0)(x1−x0)(x−x0)L_1(x)=y_0+\frac{(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)}(x-x_0) L1(x)=y0+(x1−x0)(y1−y0)(x−x0)
即：
L1(x)=(x−x1)(x0−x1)y0+(x−x0)(x1−x0)y1L_1(x)=\frac{(x-x1)}{(x_0-x_1)}y_0+\frac{(x-x0)}{(x_1-x_0)}y_1 L1(x)=(x0−x1)(x−x1)y0+(x1−x0)(x−x0)y1
这就是一次拉格朗日多项式
令
l0(x)=(x−x1)(x0−x1)l_0(x)=\frac{(x-x1)}{(x_0-x_1)} l0(x)=(x0−x1)(x−x1)
l1(x)=(x−x0)(x1−x0)l_1(x)=\frac{(x-x0)}{(x_1-x_0)} l1(x)=(x1−x0)(x−x0)
则一次拉格朗日多项式就可以表示为
l1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)l_1(x)=y_0l_0(x)+y_1l_1(x) l1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)

1.2二次插值

已知：

求解：
L2(x)=a2x2+a1x+a0L_2(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 L2(x)=a2x2+a1x+a0
采用以下方法构造，令
L2(x)=A(x−x1)(x−x2)+B(x−x0)(x−x2)+C(x−x0)(x−x1)L_2(x)=A(x-x_1)(x-x_2)+B(x-x_0)(x-x_2)+C(x-x_0)(x-x_1) L2(x)=A(x−x1)(x−x2)+B(x−x0)(x−x2)+C(x−x0)(x−x1)
可以解出：
A=y0(x0−x1)(x0−x2)A=\frac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} A=(x0−x1)(x0−x2)y0
B=y1(x1−x0)(x1−x2)B=\frac{y_1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} B=(x1−x0)(x1−x2)y1
C=y2(x2−x0)(x2−x1)C=\frac{y_2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} C=(x2−x0)(x2−x1)y2
于是可以得到:
L2(x)=∑i=12(∏i=0,i≠j2x−xixj−xi)yjL_2(x)=\sum\limits_{i=1}^{2}(\prod\limits_{i=0,i\neq{j}}^{2}\frac{x-x_i}{x_j-x_i})y_j L2(x)=i=1∑2(i=0,i=j∏2xj−xix−xi)yj
该式称为二次拉格朗日多项式
如果令：
l0(x)=(x−x1)（x−x2）(x0−x1)(x0−x2)l_0(x)=\frac{(x-x1)（x-x_2）}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} l0(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)（x−x2）
l1(x)=(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)l_1(x)=\frac{(x-x0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} l1(x)=(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)
l2(x)=(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)l_2(x)=\frac{(x-x0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} l2(x)=(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)
则
L2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)L_2(x)=y_0l_0(x)+y_1l_1(x)+y_2l_2(x) L2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)

1.3 n次拉格朗日插值多项式

由前面得规律可以得到n次拉格朗日插值多项式：
L2(x)=∑i=1n(∏i=0,i≠jnx−xixj−xi)yjL_2(x)=\sum\limits_{i=1}^{n }(\prod\limits_{i=0,i\neq{j}}^{n}\frac{x-x_i}{x_j-x_i})y_j L2(x)=i=1∑n(i=0,i=j∏nxj−xix−xi)yj

2.Python实现

import numpy as npdef LagrangeInterpolation(x):grid_x = np.array([4, 5, 6])k = len(grid_x)value = np.array([10, 5.25, 1])result = 0for j in range(k):result_l = 1for i in range(k):if i != j:result_l = result_l * (x - grid_x[i]) / (grid_x[j] - grid_x[i])result = result + value[j] * result_lreturn resultif __name__ == '__main__':x=18result=LagrangeInterpolation(x)print(result)

结果如下：

-11.0

参考：https://blog.csdn.net/u011699626/article/details/120394802

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