线性规划模型形式

线性规划模型的一般形式为
max ⁡ ( min ⁡ ) z = ∑ j = 1 n c j x j ; ( 1 ) s.t. { ∑ j = 1 n a i j x j ≤ ( ≥ , = ) b i , i = 1 , 2 , ⋯ , m , x j ≥ 0 , j = 1 , 2 , ⋯ , n . ( 2 ) \begin{gathered} \max (\min ) z=\sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j} ; \quad (1) \\ \text { s.t. } \begin{cases} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j} \leq(\geq,=) b_{i}, i=1,2, \cdots, m, \\ x_{j} \geq 0, \quad j=1,2, \cdots, n . \end{cases} \quad (2) \end{gathered} max(min)z=j=1∑ncjxj;(1) s.t. {∑j=1naijxj≤(≥,=)bi,i=1,2,⋯,m,xj≥0,j=1,2,⋯,n.(2)

或矩阵形式
max ⁡ ( min ⁡ ) z = c T x ; ( 1 ) s.t. { A x ≤ ( ≥ , = ) b , x ≥ 0. ( 2 ) \begin{gathered} &\max (\min ) z=c^{T} x; \quad (1) \\ &\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} A x \leq(\geq,=) b, \\ x \geq 0. \end{array}\right. \quad (2) \end{gathered} max(min)z=cTx;(1) s.t. {Ax≤(≥,=)b,x≥0.(2)

其中，式 (1) 称为目标函数，式 (2) 称为约束条件。

线性规划问题的Python求解

1. scipy.optimize.linprog

标准型式:
min ⁡ z = c T x s.t. { A ⋅ x ≤ b A e q ⋅ x = b e q L b ≤ x ≤ U b \begin{gathered} \min \quad z=c^{T} x \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} A \cdot x \leq b \\ A e q \cdot x=b e q \\ L b \leq x \leq U b \end{array}\right. \end{gathered} minz=cTx s.t. ⎩⎨⎧A⋅x≤bAeq⋅x=beqLb≤x≤Ub

调用方式:

from scipy.optimize import linprog
res=linprog(c, A=None, b=None, Aeq=None, beq=None, bounds=None, method='simplex')

c, A, b, Aeq, beq 分别为上述标准型式中的目标向量, 不等号约束, 与等号约束.
bounds 是决策向量的下界和上界所组成的 n n n 个元素的元组. 如 − ∞ < x 1 < + ∞ - \infty < {x_1} < + \infty −∞<x1<+∞, − 3 ⩽ x 2 < + ∞ - 3 \leqslant {x_2} < + \infty −3⩽x2<+∞, 则 bounds=((None,None),(-3,None))

# Lb, Ub 转化为 bounds
bounds=tuple(zip(Lb, Ub))

默认每个决策变量下界为 0 0 0, 上界为 + ∞ + \infty +∞

返回值:

print(res.fun) #最优值 (目标函数最小值)
print(res.x ) #最优解

2. cvxopt.solvers

标准型:
min ⁡ z = c T x s.t. { A ⋅ x ≤ b A e q ⋅ x = b e q \begin{gathered} &\min \quad z=c^{T} x \\ &\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} A \cdot x \leq b \\ A e q \cdot x=b e q \end{array}\right. \end{gathered} minz=cTx s.t. {A⋅x≤bAeq⋅x=beq

调用方式:

import numpy as np
from cvxopt import matrix, solvers
sol=solvers.lp(c,A,b,Aeq,beq)
#c,A,b,Aeq,beq 为 cvxopt.matrix 矩阵
'''
可用 cvxopt.matrix(array,dims) 把array按照dims重新排成矩阵省略dims:   如果array为np.array, 则为其原本形式; 如果array为list, 则认为 list 中用逗号分隔开的为一"列"
'''

返回值:

print(sol['x']) #最优解
print(sol['primal objective']) #最优值

注:

在程序中虽然没有直接使用 NumPy 库中的函数，也要加载
数据如果全部为整型数据，也必须写成浮点型数据

3. cvxpy

调用方式:

import cvxpy as cp
import numpy as np
import pandas as pd
x=cp.Variable(shape=(), name=None, var_id=None, **kwargs)
#shape: 表示形状, 可以使用元组表示矩阵
#name: 变量名字, 可以使用字符串
#例如 x=cp.Variable((m,n)) # m*n 的矩阵
#或 x=cp.Variable(shape=(3,3), name='cov', symmetric=True)
'''数域
boolean 布尔型, integer 整数型
x=cp.Variable(shape=(1),boolean=True)
y=cp.Variable(shape=(1),integer=True)
neg 负数, nonneg 非负
x=cp.Variable(shape=(1),nonneg=True)
pos 正数, nonpos 非正
x=cp.Variable(shape=(1),nonpos=True)
complex 复数, imag 虚数
'''
obj=cp.Minimize(f)  #构造目标函数
#可选 cp.Minimize, cp.Maximize
'''
cvxpy 的函数
使用 * 进行矩阵标量和向量标量乘法。
使用 @ 进行矩阵-矩阵和矩阵-向量乘法。
使用 cp.multiply 进行元素乘法
'''
con=[]  #构造约束条件的列表
prob=cp.Problem(obj,con)  #构造模型
prob.solve(solver='GLPK_MI',verbose=True) #求解模型, verbose=True 表明显示具体求解信息
#显示已安装的求解器: cp.installed_solvers()

返回值:

print(prob.value) # 最优值
print(x.value) # 最优解

示例:
min ⁡ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c i j x i j , s.t. { ∑ j = 1 n x i j ≤ b ⃗ , i = 1 , 2 , ⋯ , m , ∑ i = 1 m x i j = b e q ⃗ , j = 1 , 2 , ⋯ , n , L b ≤ X ≤ U b , X = ( x i j ) , i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n . \begin{gathered} &\min \quad \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j} x_{i j}, \\ &\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \displaystyle{\sum_{j=1}^{n} x_{i j} \leq \vec{b}, \quad i=1,2, \cdots, m,} \\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{m} x_{i j}= \vec{beq}, \quad j=1,2, \cdots, n,} \\ \displaystyle{\mathbf{Lb} \leq \mathbf{X} \leq \mathbf{Ub}, \quad \mathbf{X}=(x_{ij}), i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n .} \end{array}\right. \end{gathered} mini=1∑mj=1∑ncijxij, s.t. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧j=1∑nxij≤b ,i=1,2,⋯,m,i=1∑mxij=beq ,j=1,2,⋯,n,Lb≤X≤Ub,X=(xij),i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n.

import cvxpy as cp
import numpy as np
import pandas as pd
x=cp.Variable((m,n)) #构造m*n维变量
obj=cp.Minimize(cp.sum(cp.multiply(c,x)))  #构造目标函数
con=[cp.sum(x,axis=1,keepdims=True)<=b,cp.sum(x,axis=0,keepdims=True)==beq,Lb<=x<=Ub]  #构造约束条件
prob=cp.Problem(obj,con)  #构造模型
prob.solve(solver='GLPK_MI',verbose=True) #求解模型
print(prob.value) # 最优值
print(x.value) # 最优解

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数学建模：线性规划及 Python 求解

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线性规划模型形式

线性规划问题的Python求解

1. scipy.optimize.linprog

2. cvxopt.solvers

3. cvxpy

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