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论文: 蹦极的数学建模及其龙格-库塔法求解方法
在“华东师范大学首届研究生数学建模竞赛”中，获得二等奖。
发表日期： 2007年5月
摘要：
本文通过参照题中给出的数据，对蹦极者在蹦极过程受到重力，拉力，空气阻力等受力分析，依据牛顿第二定律，将这种现实生活中连续状态的非线性系统进行建模，得到一个完整的蹦极数学模型。该模型表现为蹦极者位置x对下落时间t的二阶常微分方程。然后利用Matlab编程，采用龙格-库塔法方法，完成了赛题中所有问题。全文的分析思路如下：
首先，求解空气阻力与速度的关系。题中给出了一组空气阻力和速度的实测数据，通过程序BengJi NiHe.m，进行多项式曲线拟合，发现空气阻力和速度符合二次多项式，求出了二次多项式的系数，验证了该二次多项式具有良好的拟合效果。
然后，对蹦极者受力分析，发现这是典型的具有连续状态的非线性系统。建立二维空间坐标模型，并令蹦极者位置为X.根据牛顿第二定律，列出蹦极模型的数学表达式，得到蹦极者下落位置x对下落时间t的二阶常微分方程。
为简化计算，决定采用计算机对蹦极数学模型进行数值计算和系统仿真。因为MATLAB只能解一阶常微分方程，所以先手工把上面的二阶常微分方程转化成一阶常微分方程，再采用计算机求解。通过对Matlab中不同的龙格-库塔法方法进行分析后，发现ode23方法最适合求解具有连续状态的非线性系统，且精度符合要求。
因此，程序(BengJi.m, BengJi_Sub.m)中使用ode23方法，对蹦极数学模型进行数值计算和系统仿真。并得出了系统要求的数值解和系统仿真图表。通过极值和折半法，求出在蹦极绳弹性系数k=5时，蹦极者有最大刺激，即在安全的情况下最接近湖面。此情况下，脚踝受到的最大拉力为670磅，蹦极者的最大速度为105.1469英尺/秒，蹦极者反弹回来离起跳点的最短距离为69.7566英尺，并给出了系统仿真图。
将蹦极系统的理论数值解和仿真数值解进行比对验证，误差分析，发现系统仿真结果符合实际，本数学模型可以客观正确地反映蹦极过程。
最后，论述了此模型的优缺点，讨论了模型的改进，列出了相关参考文献和术语。
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